ДУ Kvasova,Makarova,Makarov

y( n ) = f (x)

(1)

F(x, y( k ) , y(k+1) ,..., y(n ) ) = 0 .

(2)

Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой

y( k ) (x) = z (x) .

′

( n−k )

) = 0 .

Тогда уравнение (2) примет вид F(x, z, z , ..., z

Из

последнего

уравнения,

если

это

возможно,

определяют

z = f (x, C1 , C2 , ..., Cn−k ), а затем находят

y

из уравнения

y( k ) = f (x, C , C

2

,...,C

n−k

),

1

F(y, y¢, y¢¢,..., y( n ) ) = 0 .

(3)

y′ = p (y),

y¢¢ =p¢y × y¢x = p¢y × p,

y¢¢¢ =

d

(p¢

× p) =

d

(p × p¢ )× p = p2

p¢¢ + p¢2 .

d x

y

d y

y

y

y

Пример 8.

y′′′ = sin x + cos x .

Найти общее решение уравнения

Решение.

y′′ = - cos x + sin x + C1 ,

y′ = -sin x - cos x + C1x + C2 ,

y =cos x - sin x + C

x 2

+ C

x + C

.

2

1

2

3

y¢¢¢ =

Пример 9. Решить уравнение

1 + (y¢¢)2

.

Решение.

Данное уравнение не содержит искомой функции y

и ее производной, урав-

нение II типа. Полагаем y′′ = z (x) , тогда

y′′′ = z′ . После этого уравнения примет

Решение.

Данное уравнение III типа. Введем обозначение y′ = p (y),

y′′ =p′y × p , получим

p¢

× p + p2 = 2 e− y - уравнение Бернулли. Подстановкой

p2 = z (y) оно сводится к

y

линейному уравнению z¢ + 2 z = 4e− y .

= e − 2 y × (C + 4

ey d y)

z = e− ∫2 d y ×

C +

∫

4e− y × e∫2 d y d y

∫

4

∫

=

1

1

= C e− 2 y

+ 4e− y .

1

Заменяя z

на p2 , получим

y′ = ±

4e− y + C1 e− 2 y

. Интегрируя, будем иметь

1

2

~

~

C

x + C

= ±

4ey + C

или

(x + C

)

= ey +

C ;

C

=

1

.

2

1

2

1

2

1

4

Полагая y′ = p (y) , получим p1p¢ = 2 y3

или

p dp = 2 y3 d y откуда p2 = y4 +C1 ;

y¢ =

y4 + C

.

1

= ∫ (y4

+ C1 )−1/ 2 d y . Интеграл в правой

Разделяя переменные, найдем x + C2

Но если использовать начальные условия y′(0) =1, y

(0) = 1, то C1 = 0 и тогда

y¢ = y2 ; -

1

= x + C

2 ; y = -

1

; C2

= - 1; y =

1

;

x + C2

y

1- x

2.

y¢¢= x ex ; y (0) =1, y¢(0) = 0 .

4.

y¢¢¢ =

ln x

; y (1) = 0, y¢ (1) = 1.

x 2

6.

y¢¢× (x + 2)5 = 1; y (-1) =1/12; y¢(-1) = -1/ 4 .

7.

1

y¢¢ =

.

1 + x 2

8.

y¢¢ = x × ex ; y (0) = y¢ (0) = 0 .

9.

x y′′′ = 2 x + 3.

12.

y¢

x

2

2

2

2 y¢¢ =

+

; y (1) =

; y¢(1) =

.

x

y¢

5

2

18.

y¢¢ =

y¢

+

x

2

y (2) = 0, y¢(2) = 4 .

;

x

y¢

19.

(1 + ex ) y¢¢ + y¢ = 0 .

20.

x y¢¢ + x (y¢)2

= y¢; y (2) = 2, y¢(2) = 1.

a 0 y( n ) + a1y( n −1) + ... + a n y = 0 ,

(1)

где a 0 , a1 ,..., a n -

вещественные постоянные числа. Решение уравнения (1)

нахо-

дим в виде

y = eλ x - подстановка Эйлера

(2)

λ - неизвестная постоянная. Подставляя (2) в (1), получим уравнение

a 0ln + a1 ln −1 +...+ a n = 0 ,

(3)

которому удовлетворяет λ .

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением.

Пусть λ1 , λ2 ,

..., λn - корни уравнения (3), причем среди них могут быть и

Тогда

фундаментальная

система

решений уравнения (1) имеет вид

el1x , el2x , ...,

eln x и общим решением искомого уравнения будем

y

o.o.

= C el1x

+ C

2

el2x

+ ... + C

n

eln x .

1

l1 = l

~

~

–

является k –

2 = ... = lk = l , т. е.

l

кратным корнем

~

~

~

~

elx , xelx , x 2elx , ...,

x k-1 ×elx , eln +...+x , ..., eln x ,

y

~

~

~

+ C

elk +1×x ,+...+ x k-1 × C

eln x .

o.o

= C elx + C

2

x elx + ...+C

k

x k-1elx

k+1

n

1

eax × cosbx,

ea x × sin bx,

egx

× cos d x, egx × sin d x,

el5x , el6x ,

... ,

eln x ,

а общее решение

y

o.o.

= C ea x × cosb x + C

2

ea x × sin bx + C

3

eg x × cosd x + C

4

eg x × sin d x +

1

+ C5 el5x + C6 el6x

+ ... + Cn eln x .

4) в случае, если λ1 = α + iβ является k –

кратным корнем уравнения (3), то

λ2 = α − iβ также будет k –

кратным корнем и фундаментальная система решений

то общее решение имеет вид y

o.o.

= C

+ C

2

e- x + C

3

e3 x .

1

Пример 13.

Найти общее решение уравнения

y′′′ + 2 y′′ + y′ = 0 .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид

l3 + 2l2 + l = 0; l (l2 + 2l + 1) = 0 .

Отсюда λ1

= 0,

λ2 = λ3 = −1.

Корни вещественные, причем один

из

них

λ = −1 – двукратный, поэтому общее решение имеет вид

y

o.o.

= C e− x + C

2

x × e− x

+ C

3

.

1

Пример 14. Решить уравнение

y′′′ + 4 y′′ + 13 y′ = 0 .

Решение.

Характеристическое

уравнение

l3 + 4l2 + 13l = 0

имеет корни

λ1

= 0 ,

λ2 = − 2 − 3i , λ3 = − 2 + 3i .

Общее решение

× e− 2 x × cos3x + C

e− 2 x ×sin 3x .

y

o.o.

= C

+ C

2

3

1

Пример 15. Решить уравнение

yv

- 2 yIV + 2 y¢¢¢ - 4 y¢¢ + y¢ - 2 y = 0 .

Решение.

Характеристическое

уравнение

l5 - 2l4

+ 2l3 - 4l2

+ l - 2 = 0

или

(l - 2)(l2 + 1)2 = 0 имеет корни λ = 2 –

однократный и λ = ± i –

пара двукратных

мнимых корней. Общее решение

y

o.o.

= C e2 x

+ (C

2

+ C

x) cos x + (C

4

+ C

5

x) sin x .

1

3

Упражнения. Проинтегрировать следующие однородные линейные уравнения.

1) y′′ − 6 y′ + 8 y = 0 .

Ответ: l1 =2, l2 = 4,

y = C1 e2x + C2 e4x .

2) y′′′ − 2 y′′ + y′ = 0 .

Ответ: l1 =0, l2, 3

= 1,

y = C1

+ C2 ex + C3 x ex .

3) yV - 2 yIV + 2 y¢¢¢ = 0 . Ответ:

l1, 2, 3 =0, l4, 5 = 1+ i,

y = C1

+ C2 cos 2 x + C3 sin 2x +C4 x × cos 2 x + C5 x sin 2 x .

.

Решить однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффици-

ентами:

′′

- 4 y

′

+ 3 y = 0; y (0)

′

1.

y

= 6, y (0) = 10 .

3.

y′′ - 2 y′ + 2 y = 0; y (0) =0, y′(0) = 1 .

5.

y′′

- 2 y′ + 3 y = 0; y (0) = 1, y′(0) = 3 .

6

y′′′ + 6 y′′ +11 y′ + 6 y = 0 .

7.

y

′′′

+ y

′′

= 0; y (0) = 1,

′

′′

= 1.

y (0)

= 0, y (0)

8.

yIV + 2 yV + yIV = 0 .

9.

y′′ - 5 y′ + 4 y = 0 .

L[y] º a 0 y( n ) + a1 y( n−1) + ... + a n y = f (x)

(1)

~

(x)

~

(x) –

многочлены от x k – й степени общего вида с

где k = max (m, n), Pk

и

Qk

если

1) ± iβ не является корнем х.у., то

yч.н.

~

~

k = max (m, n) .

= Pk

(x) cosbx + Qk (x) sin bx ,

2) число ± iβ является корнем х.у. кратности r

, то

yч.н.

= x

r

~

~

(x) sin bx).

× (Pk (x) cosbx + Qk

III. f (x) = e

α x × [P (x) cosbx + Q

m

(x) sin bx], то

n

если

1) число α ± iβ не является корнем х.у., то

f (x) = eα x

~

~

(x) sin bx] .

× [P (x) cosbx + Q

k

k

2) число α ± iβ является корнем х.у. кратности r , то

y

= x r

~

~

(x) sin bx] .

х.у.

× eα x × [P (x) cosbx + Q

k

k

Замечание. Первые два вида являются частными случаями III вида.

Пример 16. Найти общее решение уравнения y¢¢¢ - y¢¢ + y¢ - y = x 2 + x .

Решение.

Характеристической уравнение

(х.у.) l3 - l2

+ l - 1 = 0 имеет различные

корни λ1 = 1, λ2

= −i, λ3

= i , поэтому общее решение

Находим

частное

решение

yч.н. f (x) = x 2 + x ;

это многочлен

P (x) = x 2 + x; a = 0 –

не является корнем х.у., поэтому

2

~

yч.н.

(x)

= A x

2

+ B x + C ,

=P2

А, В, С – неопределенные (неизвестные) коэффициенты.

Подставляя yч.н.

в уравнение, получим

- A x 2

+ (2A -В)× x + (B - 2A - C) = x 2 + x .

Откуда

A = − 1,

x 2

x

− B

= 1,

2A

x

0

− C = 0.

B − 2A

Решая

систему, находим

A = −1, B = −3, C = −1.

Следовательно,

yч.н. = − x 2 − 3x − 1 и общее решение будет

y

о.н.

= C ex

+ C

2

cos x + C

3

sin x − x 2 − 3x − 1.

1

Пример 17. Решить уравнение

y′′′ + 3 y′ + 2 y = sin x .

Решение.

yo.o. : y′′ + 3 y′ + 2 y = 0;

λ2 + 3λ + 2 = 0

− х.у.

λ

1б2

= − 2; − 1.

y

o.o.

= C e− 2 x + C

2

e− x .

1

yч.н.

: f (x) = sin x;

α = 0, α ± i ρ = ± i – нее является корнем х.у., поэтому

yч.н.

= A sin x + B cos x .

Подставляя yч.н.

в уравнение

− A sin x − B cos x + 3 (A cos x − B sin x) + 2 (A sin x + B cos x) = sin x .

Приравнивая коэффициенты при sin x

и cos x слева и справа, получим сис-

sin x

A - 3B = 1,

A = 1 + 3,

B = -

3

A =

1

cos x

+ B = 0.

10 B = - 3,

,

.

10

10

3A

yч.н. =

1

sin x -

3

cos x .

10

10

1)

y′′ + y′ + 2y

= x .

Ответ:

yч.н.

=A x + B .

2)

y¢¢ + y¢ + 2y

= x e3x .

Ответ:

yч.н.

=e3x ( A x + B ).

3) y′′ + y′ = x 2 .

Ответ: yч.н.

= x (A x 2 + B x + C ).

4) y′′′ + 2 y′′ + y′ = ( 2 x + 1) sin x .

Ответ: yч.н.

= ( A x + B )sin x + ( C x + Д) cos x .

5.

3

x

4 y¢¢ - 3 y¢ = x × e 4 .