ДУ Kvasova,Makarova,Makarov

−

∫p( x ) dx

где С(x) - новая неизвестная функция.

y =C (x)e

,

2) уравнение (1)

может

быть

проинтегрирован с

помощью

подстановки

y = U (x)×V(x) , где U (x) и V(x) - неизвестные функции от x .

3) решение уравнения (1) можно найти еще и по формуле

−∫ p( x ) dx

+

∫ q (x) e

∫ p( x ) dx

y = e

× C

dx .

Замечание.

Может оказаться,

что дифференциальное уравнение линейно от-

носительно x как функции от y . Нормальный вид (коэффициент при

dx

равен 1)

dy

такого уравнения

dx

+ r (y)× x

= j(y)

′

dy

(1 )

Пример 4.

Решить уравнение

y¢ + 2x y = 2x e−x2 .

Решение. Вид уравнения нормальный

p (x) = 2x, q (x) =2 x e−x2 .

∫ 2x dx

−x2

∫2x dx

y (x) = e

2∫ x e

×e

× C +

d x

=

= e−x2 (C + 2∫ x e− x2 × ех3 d x)= e−x2 (C + 2∫ x d x) =

= e−x2 (C + x 2 ).

Ответ:

e−x2 (C + x 2 ).

Упражнения. Решить уравнения

Ответ: y = C e− cos x - cos x + 1.

1. y′ − ysin x = sin x cos x .

2. (1 + x 2 ) y¢ - 2 x y = (1 + x 2 )2 .

Приводим к виду y′ + p (x) y = q (x) , y¢-

2 x

y = 1 + x 2 и решаем по формуле

+ x 2

1

− ∫ p ( x ) d x

∫ q (x) e

∫ p ( x ) d x

Ответ: y = (1 + x

2

) (C + x) .

y = e

C +

d x .

3. y¢ + y =ex .

Ответ: y = Ce− x

+

1

e x .

2

4. y d x + 2(x + y) d y = 0 .

Ответ: x =

C

-

2

y .

y2

3

Уравнение линейное относительно функции x = x (y) . Приводим его к виду

y×x′(y) + 2 x = -2 y

или

x¢ +

2

x = -2 .

y

5.

1

y¢+ y ×tg x +

; y (0)

= 0 .

14.

y¢=

y

.

2 y ln y + y - x

15.

y¢

1- x 2

+ y = arcsin x; y (0) = 0 .

16.

y¢- y ex = 2 x eex .

17.

y¢-

y

= x ln x = x ln x; y (e) =e2 / 2 .

x ln x

18.

y¢+ 2 x y = x e−x2 .

19.

y′sin x - y cos x = 1; y (p/ 2) =0 .

20.

y¢=

3 y

+ x .

x

y¢+ p (x) y = q (x) yα , a ¹ 0; 1

(1)

(при α = 0 и α = 1 это уравнение является линейным).

Уравнение (1) умножим на y−α

y−α ×

d y

+ p (x) y1−α = q (x)

(2)

d x

Обозначим y1−α = z (x); z¢ = (1-a) y−α ×y¢ .

Уравнение (2) умножим на (1− α)

(1-a) y−α × y¢ + (1-a) p(x) × y1−α = (1 - a) q (x) или

z′ + (1− α) p (x) z = (1− α) q (x)

(3)

(3) – линейное уравнение относительно переменной

z(x) .

Решить уравнение Бернулли

x y¢ + y = y2 ln x .

Приведем уравнение к виду

y¢ + p (x)×y = q (x) yα

y¢ +

1

y =

ln x

×y2 ; a = 2 .

x

x

y−2

и сделаем замену y−1 = z (x) , причем,

Обе части уравнения

умножим

на

z¢(x) = - y−2 × y¢ , получим z¢-

1

z = -

ln x

- это линейное уравнение относительно

z (x) .

x

x

z (x) =e −∫p ( x ) dx× C + ∫ q (x)e∫p ( x{dx dx =

∫

dx

ln x

−∫

dx

=e

x C +

∫ -

× e

x dx =

x

= x × C - ∫

ln x

d x

= x C +

1

ln x +

1

.

x 2

x

x

Получили z = x × C +

1

ln x +

1

.

x

x

Поэтому y =

1

=

1

.

z C x + ln x +

1

Ответ: y =

1

.

C x + ln x + 1

1. x y¢ - y = y2 .

Ответ: y =

x

; y = 0 .

C - x

2. x y¢ +

= x y2 .

Ответ:

1

= x (C - ln

x

).

3. (x y + x 2 y3 )y¢ = 1; y (1) = 0 .

y

1

Ответ: x =

.

−

y2

2 - y2 + 2

- e

Уравнение следует переписать в виде

d x

= x y + x 2 y3 или x¢ - x y = x 2 y3 - это уравнение Бернулли относительно

d y

функции x = x (y) .

4. y¢ -

1

y =

1

.

Ответ: y2 C x 2

- x .

x

2 y

1.

x

y¢ +

y = x y; y (0) = 0 .

1 - x 2

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

(1)

M d x + N d y º du º ∂ u dx + ∂ u dy .

¶ x

¶ y

Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциа-

лах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области

D изменения перемен-

ных x и y выполнялось условие

∂ M º

∂ N

(2)

¶ y

¶ x

В этом случае общий интеграл имеет вид

u (x, y) = C

или

x

y

∫

M (x, y) dx +

∫ N (x0 , y ) dy = C .

x0

y0

Пример 6.

(sin xy + xy × cos xy)dx + x 2 × cos xy× dy = 0 .

Решить уравнение

∂M = x cos xy + x cos xy − x 2 ysin xy = 2x cos xy − x 2 ysin xy,

∂ y

∂ N = 2 x cos xy − x 2 y sin xy.

∂ x

Получили, что

∂ M =

∂ N , условие (2) выполнено, значит данное уравнение в

¶ y

¶ x

Частная производная ∂ u , найденной функции u (x, y) должна равняться в си-

¶ y

лу второго уравнения системы, x 2 cos xy , что дает

u (x, y) = x sin xy +j(y); ∂ u = x 2 cos xy + j¢(y) ,

¶ y

x 2

cos xy + j¢(y) = x 2 × cos xy .

′

Отсюда ϕ (y) = 0, ϕ(y) = C1 ,

u (x, y) = x sin xy + C1; x sin xy + C1 = C2

- общий интеграл.

Ответ: x sin xy = C , где C = C2 − C1 .

Упражнения. Решить уравнения

1.

1

d x -

x

d y = 0 .

Ответ:

x

= C .

y

y2

y

2.

x d y − y d x

= 0 .

Ответ: arctg

y

= C .

x 2 + y2

x

3.

(2 x − y +1) d x + (2 y − x − 1)d y = 0 .

Ответ: x 2 + y2 - x y + x - y = C .

4.

1

d y -

y

d x = 0 .

Ответ:

y

= C .

x

x 2

x

-

y

d x +

1

d y = 0,

x 2

x

M (x, y) = -

y

; N (x, y) =

1

,

x

x 2

∂ M = -

1

;

∂ N = -

1

уравнение в полных дифференциалах.

x 2

x 2

¶ y

¶ x

3.

2 y

2

3 y

2

3x 2

tg y −

d x + x3 sec2

y + 4 y3

+

d y = 0 .

x

3

x

2

4. sin 2 x

sin 2

x

+ х d x + y −

d y = 0 .

2

y

y

5.

(3x 2 − 2 x − y)d x + (2 y − x + 3 y2 ) d y = 0 .

6.

x y

y

+ 2 x y −

d x + (

1 + x 2 + x 2 − ln x)d y = 0 .

1 + x

2

x

15.

1

d x -

x

d y = 0 .

y2

y

16.

y

y

(1 - x / y) d y = 0 .

1

+ e

x

d x + e

x

17.

(x − y) d x + (2 y − x) d y = 0 .

18.

2 x

d x +

y

2

− 3x

2

d y = 0 .

y4

y3

22.

2

3

y +

d x + x -

d y =0 .

2

2

x

y

23.

(2 x − y e− x )d x + e− x d y = 0 .

24.

x

− x / y)e

x

2 x + e

y

y

d y = 0 .

d x + (1

29.

x d y

y

=

− 1 d x .

2

2

2

2

x

+ y

+ y

x

30.

(1 + x

)d x + (− 1 +

)y d y = 0 .

x 2

+ y2

x 2 + y2

1.

(x + x 2 )y′ − (1 + 2 x)y = 1 + x .

Ответ: линейное, y = u ×v или

y = e

− ∫ p ( x ) d x

∫p ( x ) d x

C + ∫ q (x) e

d x .

2. 2(y − 2 x y − x 2

)= x 2 y′.

Ответ: Бернулли, y = u ×v .

y

3.

(x 2

+ y2 )d y + x y d x = 0 .

Ответ: однородное,

y

= z (x) .

x

x

x 2

4.

− x + y2 d x + −

+ 2 x y + y

d y = 0 .

Ответ: в полных дифферен-

2

2 y

y

y′ − x2

1.

sin x3 = e

y .

2 x 2

2.

x 2 + y2 =

.

y

- 3x + x y¢

3.

1 + x + (1 + x 2 )(ex - e2 y × y¢) = 0 .

4.

2 y¢(1 - x 2 )- x y - 2 x y2 + 2 x3 y2 = 0 .

5.

y d x + (2 x - y2 ) d y = 0 .

x

x 2

6.

− x + y2 d x +

2 x y + y −

d y = 0 .

2

2 y

y

′

x y

14. y

= x y + x 2

− 1 .

x

x

x

x

x

18.

1

+ e y d x + e y 1

-

d y = 0 .

y

(1 + x

)d x + (-1 +

)y d y = 0 .

19.

x 2

+ y2

x 2 + y2

20.

x y¢ cos

y

= y cos

y

- x .

x

x

26. y¢ =

1

.

2 x - y2

2

2

d x

=

d

30.

.

x 2 - x y + y2

2 y2 - x y

1.

y¢ =

x y

.

Ответ: с разделяющимися переменными,

1 - x 2

y = Ce −

1− x2

.

2. y¢= sin

y

+

y

; y (1) = π .

Ответ: однородное, tg

y

= x .

x

x

2

2 x

3.

y¢ -

1

y = x .

Ответ: линейное, y = C x + x 2 .

x

1

4. y¢ - y = x y2 .

Ответ: Бернулли, y =

.

Ce−x - x + 1

Определить тип уравнения и решить:

1.

y¢(3x 2 - 2 x) - y ( 6 x - 2) = 0 .

2.

x y2 × y¢ - y3 = x 4 / 3 .

3.

(x 2 + y2 ) d x - x y d y = 0 .

4.

y¢ + x y = x3 .

5.

( x − y) d y − y d x = 0 .

6.

(x cos 2 y +1) d x − x 2 sin 2y d y = 0 .

7.

y′ = y tg x − y2

cos x .