Голубятникова Н.О., А.И. Чередов. Лаб.раб. Метрология электрорадиоизмерений

Качество оценок характеризуется состоятельностью, несмещенностью, эффективностью.

Оценка параметра называется состоятельной, если она по мере роста числа наблюдений стремится к оцениваемому теоретическому значению параметра.

Оценка параметра называется несмещенной, если при любом числе наблюдений ее математическое ожидание точно равно значению оцениваемого параметра. Удовлетворение требования несмещенности устраняет систематическую погрешность, которая в случае состоятельности оценки стремится к нулю при числе наблюдений N .

Оценка параметра называется эффективной, если среди прочих оценок того же параметра она обладает наименьшей дисперсией.

Все сказанное выше относится к равноточным измерениям, т. е. к измерениям одного происхождения, выполненным одними инструментами и методами, которые содержат только случайную погрешность, подчиняющуюся закону нормального распределения.

3.1.2. Операции, выполняемые при статистической обработке результатов измерений

При статистической обработке группы результатов прямых многократных независимых измерений выполняют следующие операции [5].

1.Исключают известные систематические погрешности из результатов измерений.

2.Вычисляют оценку измеряемой величины (выборочное среднее значение) согласно выражению (3.2).

3.Вычисляют несмещенную оценку среднего квадратического отклонения результатов измерений как

4.Проверяют на наличие грубых погрешностей и при необходимости исключают их.

5.Проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению.

41

6.Вычисляют доверительные границы случайной погрешности оценки измеряемой величины.

7.Вычисляют доверительные границы неисключенной систематической погрешности оценки измеряемой величины.

8.Вычисляют доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины.

3.1.3. Исключение грубых погрешностей

Для исключения грубых погрешностей измерений (промахов) используют критерий Граббса. Статистический критерий Граббса исключения грубых погрешностей основан на предположении о том, что группа результатов измерений принадлежит нормальному распределению. Для этого вычисляют критерии Граббса G1 и G2, предполагая, что наибольший xmax или наименьший xmin вызван грубыми погрешностями:

Сравнивают G1 и G2 с теоретическим значением GТ критерия Граббса при выбранном уровне значимости q. Критические значения для критерия Граббса приведены в табл. 3.1.

42

Если G1 > GТ, то xmax исключают как маловероятное значение. Если G2 > GТ, то xmin исключают как маловероятное значение.

Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и повторяют оценку среднего квадратического отклонения ряда результатов измерений и процедуру проверки на наличие грубых погрешностей.

Если G1 ≤ GТ, то xmax не считают промахом и сохраняют в ряду результатов измерений. Если G2 ≤ GТ, то xmin не считают промахом и сохраняют в ряду результатов измерений.

3.1.4. Распределение верояностей

Наиболее полной характеристикой случайной величины является распределение вероятностей, которое представляет собой перечисление всех возможных значений случайной величины xi с указанием вероятностей Pi этих значений.

Заданное любым способом соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распреде-

ления случайной величины.

На практике для выявления распределения вероятностей случайной величины рассматривают некоторое множество интервалов xi в диапазоне возможных значений данной величины и подсчитывают частоты m попадания значений в каждый из этих интервалов. Расположив значения интервалов xi в порядке возрастания и обозначив соответствующие частоты m, получим ступенчатую кривую – гистограмму [14]. На рис. 3.1 гистограмма представлена ступенчатой кривой 1.

Ломаная линия, получаемая при соединении точек, абсциссы которых равны верхним границам интервалов xi, а ординаты – частотам m, называется полигоном. На рис. 3.1 полигон представлен кривой 2.

При xi→0 гистограмма переходит в плавную кривую распределения плотности вероятности f(x). Гистограмма и полигон являются оценками плотности вероятности f(x) случайной величины.

Для построения полигона и гистограммы на основе экспериментальных данных необходимо разбить диапазон изменения значений случайной величины на равные интервалы. Количество интервалов можно вычислить по следующему правилу:

43

В данном случае K – целое число, получаемое из выражения (3.8) путем округления. Разность между максимальным и минимальным значениями измеряемой величины делят на K и получают длину интервала. Диапазон изменения значений случайной величины (разбитый на интервалы) откладывается по оси абсцисс. После этого просматриваются все измеренные значения и при чтении каждого результата метку (точку или черточку) ставят над тем интервалом, к которому относится данное наблюдение. После чего осуществляют подсчет числа попаданий значений результатов измерений в каждый из интервалов.

Вероятность того, что случайная величина примет значения меньше х,

называется (интегральной) функцией распределения F(x). Кумулятивная линия

оценивает функцию распределения F(x) случайной величины. На рис. 3.2 кумулятивная линия представлена кривой 3.

Рассмотрим пример, где в качестве измеряемой величины принимается сопротивление 56 резисторов одного типа и номинала. На рис. 3.2 точка с ординатой 0,089 кумулятивной линии определяется как отношение числа измерений, попавших в данный класс, к общему числу измерений. То есть у 5 резисторов сопротивление соответствует первому классу (от 992 до 995 Ом), тогда 5 : 56 = 0,089. Следующая точка (0,321) определяется аналогичным образом, только к текущему результату добавляется предыдущий, т. е. сопротивлением от 995 до 998 Ом обладает 13 резисторов; 13 : 56 = 0,232; 0,232 + 0,089 = 0,321. Аналогичным образом определяются остальные точки.

44

Если плотность вероятности случайной величины может быть хотя бы приближенно описана кривой (рис. 3.3):

то считается, что данная случайная величина подчиняется нормальному закону распределения (закону Лапласа–Гаусса).

Рис. 3.3. Плотность распределения вероятностей нормального распределения

Мода выборки – любое значение, вероятность которого больше, чем вероятность соседних значений.

Медиана выборки – это такое число, что вероятность поучить значение случайной величины справа от него равна вероятности получить значение слева от него.

3.1.5. Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений

Обработка результатов измерений может быть существенно упрощена, если они подчиняются именно нормальному закону распределения. Поэтому для проверки нормальности распределения выработан ряд относительно простых критериев.

При числе результатов измерений 15 < N < 50 предпочтителен составной критерий. При числе результатов измерений N > 50 рекомендуется использовать один из критериев χ2 К. Пирсона или ω2 Мизеса – Смирнова.

45

Рассмотрим подробнее составной критерий, который состоит из критерия 1 и критерия 2.

Критерий 1. Для проверки критерия 1 вычисляют оценку среднего квадратического отклонения согласно выражению (3.2).

Далее вычисляют отношение d

Результаты измерений в ряду считаются распределенными нормально, если d1 q/2 d dq/2 , где dq/2 , d1 q/2 – квантили распределения, получаемые из табл. 3.2,

причем q1 – заранее выбранный уровень значимости (1, 5, 99 или 95 %).

Критерий 2. Считают, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, если не более n разностей xi x превысили значение

Значения вероятности Р определяют из табл. 3.3 по выбранному уровню значимости q2 и числу результатов измерений N. Зависимость Zp/2 от Р приведена в табл. 3.4.

46

При уровне значимости, отличном от предусмотренных табл. 3.3, значение Р находят путем линейной интерполяции.

При несоблюдении хотя бы одного из критериев считают, что распределение результатов измерений группы не соответствует нормальному.

3.1.6. Доверительные границы случайной погрешности

Доверительные границы ɛ случайной погрешности оценки измеряемой величины вычисляют по формуле (при условии, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению):

где t – коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности P и числа результатов измерений N находится по табл. 3.5.

47

3.2.УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

1.С помощью мультиметра произвести измерение параметров выданных электронных компонентов одного типа и номинала. Результаты измерений занести в табл. 3.6.

Таблица 3.6

2. С помощью выражения (3.2) рассчитать выборочное среднее x и занести в табл. 3.7. Далее рассчитать отклонение каждого результата измерений от среднего di по формуле (3.3) и занести в табл. 3.6.

Затем с помощью выражений (3.4) и (3.6) найти смещенную и несмещенную оценку среднего квадратического отклонения результатов измерений. Рассчитать по формуле (3.1) оценку третьего центрального момента M 3 и согласно выражению (3.5) вычислить оценку коэффициента эксцесса φ. Результаты расчетов занести в табл. 3.7.

48

Таблица 3.7

Статистические оценки выборки

3. Сделать вывод о состоятельности, несмещенности и эффективности одной из полученных оценок.

4. Исключить грубые погрешности измерений (промахи) по критерию Граббса при уровне значимости свыше 5 %, согласно п. 3.1.3. Результаты расчетов занести в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Критерии Граббса

5. Построить кумулятивную линию, полигон и гистограмму по результатам измерений, описанных в п. 3.1.4.

6.Определить моду и медиану выборки согласно определениям, данным

вп. 3.1.4.

7. Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов измерений согласно п. 3.1.5. Результаты расчетов занести в табл. 3.9.

Таблица 3.9

Составной критерий

8.В случае подтверждения гипотезы о нормальности распределения результатов измерений рассчитать доверительные границы случайной погрешности согласно выражению (3.11).

9.Оформить отчет по работе. Содержание отчета: цель и задание к работе; приборы и оборудование; заполненные табл. 3.6–3.9; графики кумулятивной линии, полигона, гистограммы; формулы (выражения), используемые при расчетах, с примером вычисления (3.1–3.11); вывод.

49

Контрольные вопросы

1.Дайте определение генеральной совокупности, выборки, оценки.

2.Как определяются выборочное среднее, оценки дисперсии, среднеквадратического отклонения, третьего центрального момента и моментов высших порядков?

3.Чем отличаются начальный и центральный моменты?

4.Чем теоретическое распределение отличается от эмпирического?

5.Что характеризуют дисперсия и эксцесс?

6.Как определяются мода и медиана распределения?

7.Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность, квантиль, уровень значимости?

8.В каких случаях используется распределение Стьюдента?

50