Пособие_ТКИ

где рn(n) есть ф.п.в. п статистически независимых и одинаково распределенных (i.i.d.) отсчетов шума, каждый из которых имеет Гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией, раной N0/2. Величина N0 называется односто-

ронней спектральной плотностью мощности шума. Лег-

ко показать, что декодирование по максимуму правдоподобия

(м.п.) линейного кода в таком канале соответствует выбору последовательности х', минимизирующей квадрат Евклидова расстояния между принятой последовательностью у и х', т.е.

см [WJ], [Wil], [ВМ]. Следует заметить, что декодер, исполь-

зующий (4.4.2.6) как метрику, называется декодером с мяг-

ким решением не зависимо от того, используется или нет принцип максимума правдоподобия.

Рис.4.7. Система двоичной передачи с по каналу с АБГШ.

72

Рис.4.8. Вероятность ошибки декодирования для жесткого декодирования (Pt (3,1.3)_HDD) и мягкого декодирования (Pe(3,1,3)_SDD) двоичного (3,1,3) кода при передачи двоичных сигналов в канале с АБГШ.

Вероятность ошибки для МП декодирования, Ре(С), равна вероятности того, что при передаче последовательности х вектор шума оказался таким, что принятая последовательность у =х+n ближе к другой кодовой последовательности х"є С, х" ≠ х. Для линейного кода можно предположить, что передается нулевое кодовое слово. Тогда вероятность Pe(C) может быть ограничена сверху с помощью границы объединения [С1а] и распределения весов W(C) следующим образом:

где R = k/п скорость кода,

Eh/N0 отношение энергии сигнала на бит к мощности шума или (SNR на бит) и Q(x).

73

На Рисунке 4.8 показаны оценки вероятности ошибки для жесткого декодирования (4.4.2.3) и для мягкого декодирования (4.4.2.7) для двоичного (3,1,3) кода. Декодирование с жестким решением (или жесткое декодирование) означает, что декодер для ДСК использует выход двоичного демодулятора. Эквивалентный ДСК имеет переходную вероятность равную [Pro, WJ]

Заметим, что в данном частном случае, обе оценки вероятности ошибки являются точными, т.е. не оценками сверху, так как используется совершенный код, содержащий только два кодовых слова. Рисунок 4.8 показывает также, что мягкое декодирование обеспечивает большую эффективность, чем жесткое декодирование, в том смысле, что одинаковое значение Ре(С) при меньшей мощности передачи сигналов.Разность ( в дБ) между соответствующими отношениями SNR на бит обычно называют выигрышем от кодирова-

ния.

В [FLR] показано, что для вероятности ошибки на бит, обозначаемой Pb(С) двоичного систематического кода при передаче двоичных сигналов по каналу с АБГШ, справедлива следующая верхняя граница:

Эта граница справедлива только для систематического кода. Кроме того, результаты в [FLR] показывают, что си-

стематическое кодирование минимизирует вероятность ошибки на бит. Это означает, что систематическое кодирование не только желательно, но и оптимально в рассмотрен-

74

ном выше смысле.

Пример 10. Рассмотрим двоичный линейный (6,3,3) код с порождающей и проверочной матрицами

соответственно. Распределение весов этого кода равно W(C)={1,0,0,4,3,0,0}, которое может быть проверено непосредственным вычислением для всех кодовых слов v=v(u,vp):

В этом частном случае, МП декодирование состоит в вычислении квадрата Евклидова расстояния по формуле (4.4.2.6) между принятым словом и каждым из восьми возможных кодовых слов. В качестве решения выбирается слово с наименьшим расстоянием. На Рисунке 4.9 показаны результаты моделирования и границы объединения для жесткого и мягкого декодирования по максимуму правдоподобия для передачи двоичных сигналов в канале с АБГШ.

75

При такой плотности вероятностей множителей среднее значение отношения сигнал-шум (SNR) на бит равно Eb/NQ (как и для АБГШ без замираний), так как второй мо-

Рис.4.10. Передача двоичных кодированных сообщений в канале с гладкими Релеевскими замираниями.

Оценки эффективности двоичных линейных кодов в канале с общими Релеевскими замираниями находятся из оценок условной вероятности ошибки декодирования, Ре(С|α), или условной вероятности ошибки на бит, Рь(С|α). Безусловные вероятности ошибки находятся интегрированием условных вероятностей с весами αi, имеющими плотность вероятности (4.4.2.9).

Условные вероятности ошибки идентичны безусловным в канале с АБГШ. Существенное различие имеется только в аргументах функции Q(x), которые теперь взвешены на коэффициенты замирания αi. Рассматривая передачу двоичных кодированных сообщений при отсутствии (внешней) информации о состоянии канала, находим, что:

77

Окончательно, вероятность ошибки декодирования при передаче двоичных сигналов в канале с Рылеевскими замираниями получается как математическое ожидание относительно случайной величины w,

Известны несколько методов оценивания выражения (4.4.2.12). Один из них состоит в применении метода МонтеКарло численного интегрирования с использованием следующей аппроксимации:

где w(l) равно сумме квадратов w независимых одинаково распределенных (i.i.d.) случайных величин с Релеевской плотностью вероятностей (4.4.2.11), выданных на l-ом обращении к компьютерной программе генерации, и N достаточно большое целое число, зависящее от ожидаемого диапазона значений Pe(Q). Хорошим правилом, которое следует запомнить, является следующее: величина N должна быть, по меньшей мере, в 100 раз больше обратной величины Pe(С).

Другим методом является экспоненциальная аппроксимация сверху функции Q, которая позволяет проинтегрировать выражение или воспользоваться границей Чернова. Этот подход хоть и несколько ухудшает результат, зато дает

78

замкнутое выражение:

Граница (4.4.2.14) полезна в случаях, когда достаточно знать первое приближение в оценке помехоустойчивости кода.

Пример 11. На Рисунке 4.11 показаны результаты компьютерного моделирования двоичного (3,1,3) кода в канале с общими Релеевскими замираниями. Заметим, что интегрирование методом Монте-Карло дает точное значение помехоустойчивости кода, так как граница (4.4.2.13) содержит только один член. Заметим также, что граница Чернова дает результат, смещенный почти на 2дБ, относительно результата моделирования при отношении сигнал -шум на бит E b /N 0 >18 дБ.

Рис.4.11. Двоичная передача по Рылеевскому каналу. Результаты

79