Пособие_ТКИ

Пример 2. На Рисунке 4.3 показаны Хемминговы сферы радиуса t = 1, окружающие кодовые слова (3,1,3) двоичного кода-повторения.

Х2

Х0

Х1 S1(000)

X2

Х0

Х1 S1(111)

Рис.4.3 Хемминговы сферы радиуса t=1, окружающие кодовые слова (3,1,3) двоичного кода-повторения.

52

Заметим, что Хемминговы сферы для этого кода не пересекаются, т.е. в пространстве V2 нет векторов (или вершин в единичном трехмерном кубе), принадлежащих одновременно и S1(000), и S1(111). В результате, если изменить любую одну позицию кодового слова v, то получится вектор, который, тем не менее, останется внутри Хемминговой сферы с центром в v. Эта идея является принципиальной для понимания и определения корректирующей способности кода С.

Корректирующей способностью (error correcting capability) t кода С называют наибольший радиус Хемминговой сферы St(v) для всех кодовых слов v С такой, что для любых различных пар vi,vj С соответствующие им Хемминговы сферы не пересекаются, т.е.

Это соответствует более распространенному определению

где через [x] обозначена целая часть х, т.е. целое число меньше или равное х.

Заметим, что для определения минимального кодового расстояния произвольного блокового кода С в соответствии с (4.1.2.2), необходимо вычислить все 2k(2k - 1) расстояний между различными парами кодовых слов. Это практически невозможно даже для сравнительно коротких кодов, например, с k = 50. Одним из важных преимуществ линейных блоковых кодов является то, что для вычисления dmin достаточно знать только Хемминговы веса 2k — 1 ненулевых кодовых слов.

4.2. Линейные блоковые коды.

Как уже упоминалось выше, построение хорошего кода означает поиск в V2 подмножества элементов в наибольшей степени удаленных друг от друга. Это очень трудная задача.

53

Более того, если даже это сделано, то остается неясным как назначить кодовые слова информационным сообщениям.

Линейный код (т.е. множество кодовых слов) является векторным подпространством в пространстве V2. Это означает, что операция кодирования может быть представлена умножением на матрицу. В терминах цифровой электроники простое кодирующее устройство может быть построено на элементах «исключающее ИЛИ», «И» и триггерах типа D. В этой главе операциями сложения и умножения в двоичном векторном пространстве являются «исключающее ИЛИ» (сложение по модулю 2) и «И», соответственно. Таблицы сложения и умножения двоичных элементов имеют следующий вид:

аb a+b ab

4.2.1. Порождающая и проверочная матрицы.

Уравнение (4.2.1.1) может быть записано в матричной форме через порождающую матрицу G и векторсообщение u=(u0,u1,…,uk-1):

54

Так как С является k-мерным векторным пространством в V2, то существует (n-k)-мерное дуальное пространство (dual space) С┴, которое порождается строками матри-

цы Н, называемой проверочной матрицей (parity-check matrix), такой, что GHT=0, где через НT обозначена транспонированная матрица Н. Заметим, в частности, что любое кодовое слово v С удовлетворяет условию

Уравнение (4.2.1.4) является фундаментальным для

декодирования линейных кодов.

Линейный код С┴, который генерируется матрицей Н, является двоичным линейным (n, n-k,d┴min) кодом, который называют обычно дуальным коду С.

4.2.2. Вес как расстояние.

Как упоминалось в разделе 4.1.2, линейные коды отличаются тем, что для определения минимального расстояния кода достаточно знать минимум Хеммингова веса ненулевых кодовых слов. Ниже этот факт будет доказан. Определим вес Хемминга wtH(x) вектора, х V2, как число ненулевых элементов в х. Из определения Хеммингова расстояния ясно, что wtH(x) = dH(x,0). Для двоичного линейного кода С получаем

55

Так как G∙HT = 0, то отсюда следует, что систематическая форма проверочной матрицы имеет вид

Пример 3. Рассмотрим двоичный линейный (4,2,2) код с порождающей матрицей

Перестановкой второго и четвертого столбцов преобразуем эту матрицу в систематическую форму

Таким образом, проверочная подматрица равна

Интересно отметить, что в данном случае выполняется соотношение Р = РT. Из (4.3.1.3) следует, что систематическая форма проверочной матрицы имеет вид:

57

В дальнейшем будет использовано обозначение u = (u0, u1,..., uk-1) для информационного сообщения и обозначение v = (v0,…,vn-1) для соответствующего кодового слова кода С.

Если параметры С таковы, что k<(п — k) или, эквивалентно, скорость кода k/п < 1/2, то кодирование с помощью порождающей матрицы более экономно по числу логических операций. В этом случае

где vp= u∙Р= (ук, vk+1,…,vn-1) представляет проверочную часть кодового слова.

Однако, если k > (n - k) или k/п > 1/2, тогда кодирование с помощью проверочной матрицы Н требует меньшего количества вычислений. Этот вариант кодирования основан на уравнении (4.2.1.4) (u,vp)∙HT=0. Проверочные позиции (ук,vk+1,...,vn-1) вычисляются следующим образом:

Можно сказать, что элементами систематической формы проверочной матрицы являются коэффициенты проверочных уравнений, из которых вычисляются проверочные символы.

Пример 4. Рассмотрим двоичный линейный (4,2,2) код из примера 3. Пусть сообщение и кодовые слова обозначены u =(u0,u1) и v = (v0, v1, v2, v3), соответственно. Из уравнения

(4.3.1.5) получаем

v2 =u0+u1 v3=u0

Соответствие между 22 = 4 двух битными сообщениями и кодовыми словами имеет следующий вид:

58