Построение гистограммы
При проведении многократных измерений физической величины x формируется выборка значений xi, принимаемых этой величиной в n независимых опытах. Для первичного анализа выборки используют графический метод построения частотной таблицы – гистограммы. Данный этап является важным этапом для дальнейшего анализа выборки, так как на нем выдвигается гипотеза о распределении случайной погрешности многократного измерения.
Гистограмма – это графическое представление распределения частот для количественного признака, образуемое соприкасающимися прямоугольниками, основаниями которых служат интервалы классов, а площади пропорциональны частотам этих классов. Она показывает, как часто определённые значения встречаются в выборке, и даёт наглядное представление о закономерностях в данных. Для построения гистограммы необходимо преобразовать выборку в вариационный ряд (упорядоченная по возрастанию или убыванию выборка), определить максимальное и минимальное значение выборки и, в зависимости от размера выборки (таб. 1) определить количество интервалов (классов).
-
Размер выборки
Количество интервалов r
50 – 100
7 – 9
100 – 500
8 – 12
500 – 1000
10 – 16
1000 – 10000
12 – 22
Таб. 1 – Рекомендуемое количество интервалов в зависимости от размера выборки
Далее необходимо определить ширину интервала:
.
(2)
Полученная частотная таблица количества попаданий значений выборки в определенные интервалы в графической форме, где по оси абсцисс располагаются интервалы, а по оси ординат частота попаданий и есть гистограмма (рис. 1).
Рисунок 1 - Теоретическое распределение и практическая гистограмма
Если практическая гистограмма находится под функцией плотности предполагаемого распределения, то можно выдвигать гипотезу о распределении выборочных значений и проверять их различными критериями согласия, для получения численного подтверждения. По выдвигаемой гипотезе определяются точечные оценки математического ожидания и дисперсии.
Точечные оценки распределения
В многократных измерениях за оценку измеряемой случайной величины принимается точечная оценка математического ожидания распределения этой случайной величины, а мерой погрешности является в общем виде дисперсия, но для совпадения в размерности с оцениваемой величиной используют среднеквадратическое отклонение оценки. Формулы точечных оценок математического ожидания зависят от распределения случайной величины и должны удовлетворять всем трем критериям качества: состоятельность, несмещенность, эффективность. Получить формулы точечных оценок можно с помощью метода максимального правдоподобия.
Для нормально распределенной физической величины в качестве точечной оценки математического ожидания берут выборочное среднее арифметическое значение:
(3)
где
-значения
наблюдений в выборке, n
- количество наблюдений в выборке. В
качестве меры точности берется точечная
оценка среднеквадратического отклонения
среднего арифметического
,
(4)
т.к. распределение средних арифметических также будет нормальным. Для равномерного распределения оценка измеряемой величины – среднее максимума и минимума выборки:
.
(5)
Оценка среднеквадратического значения равномерно распределенной выборки:
.
(6)
СКО для оценки получить в данном случае нельзя так как средние максимума и минимума имеют распределение Коши. Для распределения Коши в качестве оценки величины берут медиану (первая формула для четного числа элементов выборки, вторая – для нечетных):
В случаях, когда распределение случайной погрешности неизвестно, но при этом оно одномодальное и симметричное, то можно следующим образом найти оценку математического ожидания:
В качестве числовой характеристики типа распределения экспериментальных данных принимаем значение κ, вычисляемое по формуле:
где S – выборочное СКО.
В зависимости от рассчитанного значения κ определяем формулу для оценки измеряемой величины:
− 1,8 2,5, тогда в качестве оценки используется среднее максимального и минимального значения выборки;
− 2,5 4, тогда в качестве оценки берут выборочное среднее арифметическое;
− 4, тогда медианное значение. Если значение κ меньше 1,8, то распределение не одномодальное и оценка по данной методике невозможна.
В случаях, когда определить распределение выборки невозможно, а также по гистограмме видно, что она не симметрична и не одномодальная, то однозначно сделать вывод о том какую точечную оценку использовать нельзя. В таких случаях берут выборочное среднее арифметическое, что зачастую не противоречит практике и косвенно подтверждает факт того, что реальные распределения – это усеченные нормальные распределения. Даже в случае доказанного равномерного распределения выборки относительная методическая погрешность использования в качестве точечной оценки среднего арифметического не превышает нескольких процентов.