Влияние скин - эффекта на распределение электромагнитного поля в пластине

После введения в зазор полупроводниковой пластины, вследствие непрерывности вектора магнитной индукции, его среднее значение (формула (3)) в пластине останется таким же, как в зазоре без пластины. Тангенциальные составляющие электрического поля также непрерывны на поверхности пластины. Однако, формулы (5) перестают быть справедливыми для описания распределения электрического поля внутри пластины. Они не учитывает влияние скин-эффекта, который заключается в том, что глубина проникновения переменного электромагнитного поля в пластину зависит от её проводимости, магнитной проницаемости и частоты приложенного поля.

Для описания скин-эффекта обратимся к уравнениям Максвелла (1). В первом уравнении можно пренебречь токами смещения в полупроводнике по сравнению с токами проводимости, т.е. написать

.

С помощью этого уравнения можно исключить вектор из второго уравнения Максвелла (1)

.

В левой части воспользуемся тождеством

и учтем, что, согласно (5), .

В результате получим уравнение

. (6)

Если пластина не обладает магнитными свойствами, то в уравнении (6) нужно считать . Напряженность электрического поля зависит от времени как , поэтому уравнение (6) удобно записать в виде

(7)

где

(8)

- глубина скин-слоя.

Найдем решение уравнения (7) с вектором в плоскости пластины

,

причем, в силу непрерывности электрического поля на поверхности пластины, зависимость и от переменных и быть такой же, как в формулах (5). Для электрического поля, которое проникает в пластину снизу, решение (6) имеет вид

. (9)

Решение для поля, которое проникает в пластину сверху,

(10)

Выражение (9) при и выражение (10) при должны быть равны напряженности электрического поля в зазоре (5), поэтому

(11)

Преобразуем выражения для эспонент в (9) и (10), например,

и перепишем (9) и (10) в виде

. (12)

(13)

Из формул (12) и (13) становится ясен смысл глубины скин-слоя: - это глубина, на которой электрическое поле, проникающее в пластину, убывает в раз.

Для расчета джоулевых потерь в зазоре с пластиной нужно проинтегрировать величину джоулевых потерь в единице объёма пластины - по объему той части пластины, которая находится в зазоре.

(14)

В формуле (14) суммируются поля, проникающие в пластину снизу и сверху, множитель появляется в результате усреднения мощности джоулевых потерь за период. Интегрируя сумму квадратов модулей выражений (12) и (13), найдём среднюю за период мощность джоулевых потерь

(15)

где

- функция относительных геометрических размеров тороида и зазора.