- 12 -

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой КФН

Профессор ___________ А.А.Горбацевич

«_____» __________ 2013 г.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

БЕСКОНТАКТНЫЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Автор работы

проф. А.К. Мороча

Москва 2013 г.

Бесконтактный метод определения удельного сопротивления

При бесконтактном методе измерения удельного сопротивления образец помещают в некоторый колебательный контур и измеряют изменение электромагнитной энергии, локализованной внутри контура. Внесение образца приводит к дополнительным потерям энергии поля внутри контура, так как силы электрического поля совершают положительную работу над токами проводимости в образце. Энергия поля, полученная носителями тока, превращается в джоулево тепло. Поэтому, по результатам измерений энергии джоулевых потерь в контуре, с внесенным в него образцом, можно определить удельное сопротивление образца.

При бесконтактном методе измеряют добротность резонансного контура, в который помещен образец.

Добротность - удобная характеристика потерь электромагнитной энергии, накопленной в резонансном контуре.

По определению, добротность – это величина, равная отношению полной энергии электромагнитных колебаний в контуре к величине потерь этой энергии за период. При резонансе потери можно с большой точностью измерить по величине активного сопротивления контура (напомним, что реактивное сопротивление на резонансной частоте равно нулю).

В данной работе тонкая пластинка полупроводника (рис.1) помещается в узкий зазор прямоугольного ферритового тороида 1, в котором при помощи электрической обмотки 2 возбуждается переменное электромагнитное поле с частотой . Эту частоту можно считать резонансной для эквивалентного колебательного контура, у которого индуктивное сопротивление тороидальной катушки скомпенсировано емкостным сопротивлением измерительной цепи прибора.

Интервал измерений ограничен собственной добротностью резонансного контура и глубиной проникновения электромагнитного поля (скин-эффекта) вглубь объема пластины, сопротивление которой при измерениях является активным сопротивлением эквивалентного резонансного контура. Точность измерений определяется погрешностью резонансного метода измерений.

Обычный интервал измерения удельного сопротивления бесконтактным методом - от нескольких сотых долей до нескольких единиц Омсм.

Расчет потерь электромагнитной энергии при использовании бесконтактного метода измерений

Переменное магнитное поле в зазоре тороида индуцирует вихревое электрическое поле и связанные с ним вихревые токи проводимости, которые являются источниками потерь электромагнитной энергии, точнее преобразования ее в энергию джоулевых потерь в пластине.

Рассмотрим изменение полной электромагнитной энергии , накопленной внутри зазора тороида, после введения в него пластины полупроводника толщиной в момент времени :

где и - векторы электрической и магнитной индукции в системе СИ, - плотность энергии электромагнитного поля в зазоре; - часть объёма пластины, который находится внутри зазора. Считаем, что , и энергия извне внутрь объема зазора не поступает.

Скорость изменения плотности электромагнитной энергии в зазоре из–за потерь внутри пластины равна

Подставим сюда скорости изменения векторов электрической и магнитной индукции из уравнений Максвелла

(1)

и запишем общее уравнение для изменения плотности электромагнитной энергии

Первый член справа совпадает с известным выражением закона Джоуля - Ленца в дифференциальной форме. Смысл выражения в круглых скобках станет понятен, если его преобразовать с помощью известного тождества векторной алгебры:

где и - произвольные векторы.

Проинтегрируем это уравнение по той части объема пластины, которая находится в зазоре тороида. К интегралу от применим теорему Остроградского-Гаусса

Первый интеграл, очевидно, равен полной энергии джоулевых потерь в пластине. Второй интеграл представляет собой поток вектора Умова-Пойтинга через замкнутую поверхность той части объёма пластины, который находится в зазоре. Модуль вектора Умова-Пойтинга равен количеству электромагнитной энергии, протекающей в единицу времени через единицу площади поверхности. Направление вектора P совпадает с направлением внешней нормали к боковой поверхности зазора. Произведение положительно, поэтому интеграл по поверхности с обратным знаком, равен энергии электромагнитного поля, вытекающей через боковую поверхность зазора.

Итак, энергия электромагнитного поля, накопленная в зазоре, после введения в него полупроводниковой пластины, убывает не только за счет превращения ее в джоулево тепло, но и за счет вытекания ее (излучения электромагнитных волн) через боковую поверхность зазора внутрь объема пластины, который находится вне зазора. В стационарном состоянии, для того, чтобы количество запасенной электромагнитной энергии внутри зазора оставалось постоянным, необходимо, чтобы в него от внешнего источника (генератора измерительного прибора) через обмотку 2 поступало в единицу времени количество энергии , равное энергии потерь

Действительно, в этом случае и величина добротности

.

Для однородной пластины , и полная мощность джоулевых потерь в пластине равна

где - удельная проводимость пластины, которую считаем постоянной.

С помощью уравнений Максвелла, рассчитаем вначале электромагнитное поле внутри зазора без пластины. В узком зазоре электромагнитное поле можно считать однородным по толщине. Однако в перпендикулярной плоскости поле нельзя считать однородным, если размеры поперечного сечения зазора сравнимы с расстоянием его центра от оси тороида. Если в декартовой системе координат ось тороида совместить с направлением оси (рис. 1), а ось провести через центр нижней плоскости зазора, то по теореме о циркуляции вектора по окружности радиуса ( ) с центром на оси тороида, векторы напряженности и индукции магнитного поля в произвольной точке x плоскости зазора будут направлены вдоль оси и равны

(2)

где - сила переменного тока в обмотке, - число витков в обмотке тороида. Удобно ввести средние значения напряженности и индукции магнитного поля в тороиде

, (3)

где

- векторы напряженности и индукции магнитного поля на оси тороида.

Найдем вектор напряженности электрического поля в плоскости зазора. Из уравнений Максвелла (1) следует

. (4)

Легко убедиться, что равенству (3) удовлетворяет вектор электрического поля в зазоре, перпендикулярный вектору ,

(5)