Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

ДИУ иванова билеты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.06.2025

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

1 2( )

всистсилу.

= ̇+ ̇= ( 11

+ 12 ) +

( 21 + 22

) = 11

+ ( 12+ 21) + 22

= 0

= 22 2

+ ( 12 + 21) + 11 = 0 1

, 2 −тангенсы угла наклона прямых на которых

расположены оси эллипса

Возвр. обратно

Центр (устойч., но не асим.)

̇= −

−

−1

̇=

+ 1 = 0

1,2 = ±

− = 0

|(1,0) =

= 0

↓

|(1,0)

Направление движенияпофазовым траекториям всегда можноопределить

по вектору скорости

↓

= , посчитанному в любой точке, неявляющейся

точкой покоя

> 0

↓|(1,0) = 11 неустойчивый фокус

< 0

↓|(1,0) = −01 устойчивый фокус

= 2

Кратные ненулевыедействительные корни

1) 2 ЛНЗ СВ 1 и 2

+ 2 ↓

= 1 ↓

+ 2

↓

= 1 ↓

и 2

−ЛНЗ образуют базис на плоскости

1, 2 ↓ = 1

↓ =

↓

+ 2 ↓

Всевозможные траекторииимеютвид	=
Всевозможные траекторииимеютвид	=	= −прямая, проходящая через точку
покоя по направлению±	=		< 0 ас.устойч.
> 0			< 0 ас.устойч.
неустойчивый

Такой типточки покоя называется дикритический узел

2) АК >ГК

ЛНЗ СВ 1

Пусть ↓1

−единственныйЛНЗ СВ,отв.

+ 2

, где

−какое-либо решениеА

Тогда = 1

↓1, ↓2 −ЛНЗ

↓

↓1, ↓2

↓

Перейдемв базис

= 1 1 + 2

= 2

= ( 1

+ 2 )

= 0

Если 2

= 0

= 1

Если 2 ≠ 0

1+2 2

+ =

1 ln 2

+ ln 2

2 ≠ 0

−12

= 1

| 2| = 1

Пусть радипростоты = 1

Тогда = + ln\| \|		+ 1 = 2 + ln = 0	ln = −2	= 12
> 1	′ = 1 + ln

При произвольныхС1, С2:

В целом фазовый портрет имеетвид : Такой тип точки называетсявырожденныйузел
	При этом, если > 0, то точка покоя неустойчивая, а
	если < 0, то асимптотически устойчива
		0
Возвращаемся в исходный базис	( → +∞ → 0)

	> 0				< 0
Кратные нулевые СЗ.
1	= 2 = 0
	1) АК =ГК		1	+ 2	2
	2 ЛНЗ 1, 2	= 1	↓	+ 2	↓
		, не изменяются при измененииt.

Вся плоскость покрыта точками покоя(нулевая точка покоя, устойч., но не асим.)

= 1 1 + 2 1 + 2 ,

где

2 −решениеА 2

= 2

+ 1

↓

Перейдемв { 2, 1}:

= 1

1 + 2

= 1

−парам. уравнение прямой, проходящая через( 1, 2) в направлении (0,1)

= 1 + 2

= 0

Модель потоков движущиеся впротивоположных направлениях

= 1

+ 2

В исходном базисе: = 1

+ 2

= 0

= 1

≠ 0

− 1 11− 2 21

− 1 12− 2 22

= 2

↓

В этом случае нулевая точка покоя неустойчива. Любая т.,

находящаяся при t=0 сколь угодно близко к (0,0)

при t>0

покинет ееокрестность по прямолинейнойтраектории.

5. Теорема Ляпунова об устойчивости тривиального решения автономной системы
̇	1̇= 1	( 1	, … , )
	или	…1
(1) ↓ = ↓( )				0
	̇=	(	, … , )
Пусть = −точка покоя(положение равновесия) системы(1)(т.е. ↓				( ) = ↓) Далее
предполпгаем, что непр. с частными производными 1-го порядка в областиΩ включающей т.
покоя. Пусть ( ) непр. диф. в Ω				= ∑ =1	=
Опр.Производной функции ( ) в силу системы (1) называется \|(1)
∑ =1 ( )

Опр. Назовем −окрестностью т. покоя множество ( ) = { ‖ − ‖ < } и прокол.−окрестностью– множество ̇( ) = { 0 < ‖ − ‖ < }

Опр.Функция ( ) называется положительноопределенной в ( ) если:

1) ( ) > 0

в ( )

2) ( )

= 0 Отрицательно опр. Функция определяется аналогично

Теор1. (Ляпунова об устойчивости точки покоя автономной системы)

( > 0) и полож. опр.

Пусть (1) обладает т.покоя = (т.е. =

– ее решение). Если ( )

непр. диф. в ( ) функция ( ): |(1) ≤ 0

в ( ), то = −устойчивая точка покоя.

Замеч. Напомним, что исследование ненулевой точки покоя исходной системы можно свести к

исследованиюнулевой точкипокоямодифицированнойсистемы (путемзамены переменных)

Если = −т.покоя(1)̃делаемзамену = + , тогда = 0 будет нулевой точкой покоя

системы

↓ =

↓( + ) = ↓( ).Далее считаем = 0

Док-во: ( = 0, т.е. исс. на устойч. трив. реш.)

#Трив. решение (1)называется устойчивым , если > 0 ( ) > 0: ( ( , 0) ‖0‖ < )

| ( ,

)| <

≥ . Берем > 0. Пусть = min ,

> 0 и рассм.

0.Обозначим ее

. 1

границу 1

является замкнутымограниченным множеством непр. ( ) достиг. на ней

своей нижней грани,т.е 1 inf ( ) ≡

= ( )

в ост.т. 1 ( ) ≥

(2).

> 0:

Далее 0 = 0 и ( ) непрер.в

0 | ( )| < .

Выберем теперь в качестве любую точку в

0 и рассмотрим решение = ( , ).

|(1)

т.к. ( , 0) удов.сист (1) ≤

0 ( , 0) не возрастает

( , 0)

> 0

( , 0) < (3)

> 0

( , 0) не пересекает 1 т.е.не выходитза

пределы

= . Тогда с одной стороны

##От противного: пусть ( , 0) пересек. 1в некот.т.

из(2)

( )

≥

из(3)

(

)

≤ −противоречие. ##

Таким образом любое решние,которое при = 0 наход. Внутри

0 останется внутри

0 и внутри

0 при > нулевое решение устойчиво.

Полож.опр. функция ( ) называетсяфункциейЛяпунова системы (1)

6. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости тривиального решения

автономной системы 1̇= 1( 1			, … , )
̇	или	…1
(1) ↓ = ↓( )				)		0
	̇=	(	, … ,
Пусть = −точка покоя(положение равновесия) системы(1)					(т.е. ↓	( ) = ↓) Далее

предполпгаем, что непр. с частными производными 1-го порядка в областиΩ включающей т. покоя. Пусть ( ) непр. диф. в Ω

Опр.Производной функции ( ) в силу системы (1) называется |(1)

= ∑ =1

∑ =1

( )

( ) = { ‖ − ‖ < } и прокол.

Опр. Назовем −окрестностью т. покоя множество

−окрестностью– множество

( ) = { 0 < ‖

− ‖

< }

Опр.Функция ( ) называется положительноопределенной в ( ) если:

1) ( ) > 0

в ( )

2) ( ) = 0 Отрицательно опр. Функция определяется аналогично

Теор1. (Ляпунова об устойчивости точки покоя автономной системы)

( > 0) и полож. опр.

Пусть (1) обладает т. покоя =

(т.е. = – ее решение). Если ( )

непр. диф. в ( ) функция ( ):

|(1) ≤ 0 в

( ), то = −устойчивая точка покоя.

Замеч. Напомним, что исследование ненулевой точки покоя исходной системы можно свести к

исследованиюнулевой точкипокоямодифицированнойсистемы (путемзамены переменных)

Если = −т.покоя(1)̃делаемзамену = + ,

тогда = 0 будет нулевой точкой покоя

системы ↓ = ↓( + ) =

( ).Далее считаем = 0

Теор 2. (Ляпунова об ас.

↓ус. т. покоя авт. системы)

( )

( ) −непр. и

Если кроме условийТеор1, выполнено, что в некоторой 1( )

положит. опр., такая что |(1) ≤ −( )

≥ 0, то = −асимп. устойчива.

Док-во:

требуется доказать, что ‖‖ <

≤

lim ‖( , )‖

= 0. Это равносильно

→+∞

тому, что lim ( , )

= 0 т.к. ( ) = 0

≤ 0, то ( , )

не

= 0. Поскольку

→+∞

(1)

возрастаетприувеличении t, икроме того ( , 0) ≥ 0. По теореме о существовании

предела умонотонной огр. функции, имеем

lim

( , ) =

≥

→+∞

Покажем, что случай > 0 невозможен. От противного. Пусть > 0, тогда > 0

≤

( , 0) ≥ ( > 0 ‖( , 0)‖ ≥ > 0)

> 0

( , 0)

≥ > 0

|(1)

− < 0 ≥ 0

проинтегр. это неравенство поt (от 0 до t)

( , 0)

− ( 0) ≤ −( − 0) или

( , 0) ≤ ( 0) − ( − 0). Каково бы ни было ( 0)(огр. в силу непр. ) при дост. больших t

правая часть будет<0 приэтих же временах ( , 0) < 0, но ( )

−полож. опр. поэтому

невозможно - противоречие

= 0 т.е.

lim

( , ) = 0 , т.е.

lim

‖( , )‖

= 0 #

→+∞

Полож.опр. функция ( ) называетсяфункциейЛяпунова системы (1)

7. Теорема Четаева о неустойчивости тривиального решения автономной системы
(1)	̇	( )	1̇= 1	( 1	, … , )
			или	…1
	↓ = ↓					)
			̇=	(	, … ,

Теор3. (Чатаева о неустойчивости трив. решения автономной системы)

Пусть система (1) обладает трив. решениеми 0 > 0, область +(с границей Г +)

1) 0 Г

2) Г+

∩ 0

0 ( ) = 0

∩

0 ( )

> 0

∩

(1)

≥ ( ), где ( )

−пол. опр. непр. в

0 функция

Тогда трив. (нулевое)решение неустойчиво.

Док-во: тривиальноерешение неуст,если > 0

> 0

и0 >

‖ ( , 0)‖ ≥

. Покажем,что это так.Берем любые

> 0 ивыберем

≠ 0

Рассмотрим решение ( , 0) и функцию ( , 0). Тогда

0 ∩

|(1)

|(1) ≥ 0

( , 0)

( , 0) не убывает. Тогда траектория ( , 0) не пересечет Г +т.к. на этой линии ( ) = 0, а

∩

( , ) ≥ ( )

> 0 либо ( , ) остается для >

вобласти

0, либо ( , )

уходит изобласти через границу

Покажем, что реш. ( , )

внутри

0 при достаточно больших t

не может остаться в

(предпол., что траектория не покидает +)

( 0) ≥ ( − 0) =

0 +

≥ > 0 (проинт.от 0 до ) ( ) −

, леж.внутри

0 −

( ) ≥

( ) + +∞, но ( ) − дифф. непрер. огр.в области

→∞

внутри

неверно.

противоречие предпол.о том, что ( , ) не покид.

ЧерезГ

траектория пройти не может онавыходит через границу

< ), все

Таким образом, как бы близко мы ни взялибы к 0 ( 0> 0 можем брать :

‖‖

равно при достаточно больших t траектория покинет

0. Это и есть неустойчивость.#

Замеч.Втеореме Чатаева Г

можетсостоять и только из одной точки

= 0. (До-во остается

примернотем же)

8. Исследование на устойчивость по первому (линейному) приближению. Доказательство
устойчивости в простейшем случае, когда все СЗ отрицательны и различны.
̇	1̇= 1	( 1	, … , )
	или	…1
(1) ↓ = ↓( )				)		0
	̇=	(	, … ,
Пусть = −точка покоя(положение равновесия) системы(1)					(т.е. ↓	( ) ≡ ↓). Будем считать,

что все ( ) ( = 1, ) дваждыдиф.в некоторой ( ).Тогда в ( ) ( ) можно представитьв

виде ( )

( )

+ −

−

, где

= |=

−матрица первых производных,

↓

↓2

↓

−

= (‖ − ‖)

↓

↓ ↓

≤ ‖ − ‖ k – некоторая константа, k > 0,т.е ↓

Лемма1.| +

| ≥

= (

+ )

Док-во:

| =

√

+ 2

≥

≤ 1

prav

Лемма2. ↓

↓

Док-во:

…↓

≤

↓

…

↓

−1

≤ 2

Лемма3. 2:

↓

−1

Док-во:

= ∑

∑

↓

≤

↓

≤ ↓

↓

(вроде похоже на

правду)

Теор. (Об устойчивости т. покоя авт. сис-мы по 1-му приближению)

Если все корни уравненияdet( − ) = 0 (1 часть) имеют отриц.действ. части, то точка покоя

= устойчива асимптотически, (2 часть) а если хотя бы один из корней имеет полож.действ.

часть, то точка покоя неустойчива.

Далее считаем = 0 (всегда можнодобитьсязаменой перем)

1) Док-во (для вещ. отр. корней) (далеко не факт, что именно это и надо):

(только 1 часть) при условии, что все отрицательные и различные, причём у всех корней

уравненияdet(

− )

= 0, алг.кратность =геом. кратности, т.е невырож. Т : −1 = Λ

( ) =

( ),

≤

… … . В ок-ти нулевой точки покоя (2)

↓

тогда (2) →(1) подставим (3)

( )

= .

Сделаем заменупеременных

↓

−1

↓

−1

↓.

Тогда

↓

= ↓

;

↓

= ↓ +

↓

(

)

−1

↓

+ ↓(

)

↓

↓( )

↓

2= Λ↓

Рассмотрим функцию = ↓ = ↓

≥

0. Эта функция полож. опред. > 0,

≠

= 0

0, 0

(Λ

) (

< 0).

↓

+ )↓

+ Λ↓ +

(2Λ)↓

+ 2 ↓. Пусть = max(

= 2Λ

↓

+ 2 ↓

= 2

∑ =1

↓

+ 2 ↓ ≤

2 ↓

+ 2 ↓ ≤ 2 ↓

+ 2 | | ↓

−1

полемме2

↓

≤ 1

↓

| |

−1

| |

≤ 2

↓

= 2

↓

– лемма 3

↓

↓( ) ≤

≤

2 1

↓

+ 2

2 1

↓

= 2 1

↓

↓.

< −

= .

Таким образом

0, в которой ( ) пол.опр.,

< 0 т.о. по

< 0 при ↓

т.Ляпунова о асимпт.уст. получаем, что = 0 ас.уст. т. покоя. #

Док-во:(только 1 часть) при условии, что у всех −корней уравненияdet( − ) = 0

алг.кратность =геом. кратности, т.е невырож. Т : −1

= Λ =

… … . В ок-ти нулевой

точки покоя(2)

( ) =

( ),

≤

↓

0 +

↓

тогда подставим (2) →(1)

−1

получим (3)

( )

Сделаем заменупеременных

↓

Тогда

(

);

( )

↓

−1↓

−1

↓

(

)

↓ =

↓

= Λ↓ + ↓(

+ (

)

(Λ = Λ )

Транспонируем ̇= Λ

Рассмотрим функцию = ↓

= ↓

≥ 0. Эта функция полож. опред.

> 0, ≠

0, 0 = 0

↓

= (Λ

+ ) ↓

↓

+ ↓ = Λ

↓

+ ↓

+ Λ

↓

↓ =

= ↓

↓

= (2Λ)

+ 2

. Мы доказали,

что все

↓

(Λ + Λ)

↓

< 0.

= 2 ∑ =1

Пусть = max( ) ( < 0).Тогда

= 2 Λ

+ 2

≤ 2

∑ =1

+ 2‖ ‖

= 2

+ 2‖ ‖ ↓ (4)

↓

(5)

↓

−1

↓−1

↓

≤

↓

≤ 22

↓

‖ ‖

↓

↓(

)

≤

‖

= 2 ↓

≤ 2 1

↓

Подставим(5) в (4) получим ≤

2 22 2

+ 2 22 12 3 = 2 22

+ 12 < 0 при

< −

↓

< 0, т.е. при

↓

(

< 0 > 0). Таким образом,

0, в которой

( ) пол.опр., а

9. Первые интегралы автономных систем. Критерий первого интеграла (док-во). Свойства первых интегралов (без док-ва).

Рассмотрим (1)

( ) в некоторой областиΩ

↓ =

↓

.Будем полагать,чтовсе

( = 1, )

непр. диф. в Ω (для вып. усл. ТСЕ Задачи Коши)

Ω,называетсяпервым

Опр.Функция ( ),

не равная тожд.константе в области

интегралом автономной системы (1) в областиG, если на любой траектории ( ), лежащей в G

функция ( ) сохраняет постоянное значение,т.е. ( ) = С

Теор. (Критерий I-го интеграла)

Диф. в G функция ( ) тожд. не равнаяconst явл I-инт. системы (1) она удовлетворяет в G

уравнениюв частныхпроизводных

∑ =1

( )

= 0

(2)

( ) Так как

Док-во:. Пусть ( ) −I-инт. системы (1)

в G. Рассмотрим ЗК вG : ↓ = ↓

↓(0) =

−непр.диф вG

= С 0 =

! рашениеЗК. Пусть , −решениеЗК.Тогда ,

∑

= ∑

Полагаяздесь t=0, получим, что∑

= 0

↓

, т.е во всей G вып. ур. (2)

( )

. Пусть ( ) улов. уравнению(2) в Ω. Тогда решение ( ) сист. (1)

∑=1∞

( )

= 0 ( ) = , т.е. u сохраняет пост знач. на решении это I-инт.

Замеч. ЧастоI-инт. называют несаму функцию ( ), а соотношение ( ) =

Геометрический смысл I-инт. автономной системы.

Пусть С −одно из возможных значений, которое может принимать I инт. ( ) на некотром

решении сист. (1). Тогда соотношение ( )

= задаетв (n+1) мерном

пространстве перем.

( , ) цилиндр.пов-ть, целиком состоящуюиз инт. кривыхсистемы (1).

Док-во:Пусть ( 0, 0) −некоторая точка на пов-ти ( )

= , т.е. ( 0) = .Расмотрим решение

сист. (1) удовл. нач.усл. ( 0) = 0. Обозначим его ( , 0). Поскольку ( ) сохраняет

постоянное значениена любом решении (1) то ( , 0) = ( 0) = инт. кривая

( , 0) целиком лежит на этой пов-ти. По ТСЕ мыможемвзять любуюточку 0 на этой цил.

пов-ти онацеликом состоит из интегральных кривых.

̇=

−

Пример. (3) ̇=

1,2

= ±1

Решимее : 1

− = − 1 = 0

= 1

−1

−1 1 = 1

= −1

1 2 = −1

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Интегральные уравнения и вариационное исчисление

#
28.01.2025274.74 Кб0Билеты ряды Горячев.docx
#
28.01.2025808.56 Кб2Билеты экзамен Иванова.docx
#
28.01.2025207.02 Кб0Вопросы по рядам горячева 4 сем.pdf
#
14.06.202588.7 Mб0Вышмат 4 сем Ф.pdf
#
29.03.2025410.54 Кб1Демидович_Фурье.pdf
#
04.06.20251.07 Mб0ДИУ иванова билеты.pdf
#
04.06.202588.7 Mб0Интегральные уравнения сем 4 билеты.pdf
#
04.06.202586.91 Mб0Интуры 4 семестр.pdf
#
04.06.2025271.12 Кб0таблица фазовых портретов.pdf
#
04.06.20253.89 Mб0Хорошие_Интегральные уравнения 4 семестр.pdf