19.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Тсе решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.

Интегральные уравнения Фрунгольна II рода (ИУФII).

Рассмотрим уравнение

числовой параметр уравнения,

заданные функции

неизв. функция, кот. будем считать

Опр. (1) назывю ИУФII, ядро ИУФII

Опр. Если , ИУФII назыв. однородным, в противном случае – неоднородным.

Опр. назыв. частным решением ИУФII, если при подстановке в него получаем тождество.

Теор. ( ТСЕ решения ИУФII)

Пусть . Тогда при домт. малых значениях реш. ИУФII . )

Док-во: Если , то ед. решение. Пусть . Поскольку . Рассм. ЛО А : (напомним, что банахово) опред. след образом: . Покажем, что А сжим. при дост. малых . Рассм. , где . , то А – сжим. опер. т.к. , где , т.е при . Т.о. А сжим. ЛО. Он имеет ед. непод. точку : , т.е. и т.о. явл. един. решением ИУФII(1) .

Замеч. Т.о. стартуя с непр. ф-ии можно найти решение ИУФII методом посл. приближ.

20.Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. Тсе решения интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода.

ТСЕ решения инт. уравнения Вольтера 2 рода (ИУВII).

Рассмотрим плоскость

числовой параметр.

Рассмотрим уравнение

Опр. (1) назыв. ИУВII

Опр. Если , то уравнение однородно, в противном случае – неоднородно.

Теор. Если то непр. решение ИУВII

Док-во: , рассмотрим оператор А : . . Докажем, что А – обобщ. сжим. оператор. Сначала докажем, что А – непрер. :

Рассмотрим пос-ть непрер. функций,

непрер. оператор. Док, что сжим. оператор. Рассмотрим непр. и

и т.д.

,

обобщ. сжим. непрер. точка , т.е. решение ИУВII. #

20.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Его эквивалентность слау.

ИУФII с вырожденным ядром.

Рассмотрим уравнение

где

Опр. (1), (2) – ИУФII с вырожденным ядром.

ЛНЗ на Подставим (2) в (1), получим . Если решение, имеем тождество Если решение, то оно имеет вид :

наз. определителем Фредгольма = . Если , то (4) ед. реш. Тогда функция будет реш. ИУФII с выр. ядром (1) (2)

Т.о. (1) (4)

Опр. Корни уравнения наз хар. знач. вырожд. ядра.

Некоторые сведения из ЛА.

Рассмотрим 4 кв. СЛАУ порядка n

Опр. Система (3) наз сопряженной к системе (1) (и наоборот)

Опр. Система (4) наз сопряженной к системе (2) (и наоборот)

Теор1. (Альтернатива Фредгольма)

Либо (1) имеет ед решение , либо система (2) имеет нетривиальное решение. (док. в ЛА)

Теор2. Ели 1 случай альтернативы имеет место для (1),(2), то он также имеет место для сопр. систем (3),(4). Аналогично и для 2 случая альтернативы.

Док-во:

Теор3. Сист (2) и (4) имеют одно и то же количество ЛНЗ решений

Док-во: их n-1 сист, где

Теор4. В 1 случае альт (1) имеет реш ортагональна любому решению однородной сопряженной системы (4) (т.е. вып )

Док-во: Пусть (1) совм , т.е. , тогда орт реш однор сопр системы.

Пусть вып, что . Тогда рассмотрим систему она несовм. (1) совм #

22.Сопряженные слау. Теоремы Фредгольма для слау (т1-т4)

Теоремы Фредгольма для ИУФ2 с вырожденным ядром.

ИУФ2 :

уравнение называется сопряженным к ур-ию (0).

Рассмотрим :

Теоремы Фредгольма:

Теор1. Либо ур-ие (1) имеет ед непр решение при любой непрерывной правой части, либо (2) имеет нетривиальное решение.

Теор2. Если 1-ый случай альтернативы имеет место для ур-ий (1),(2), то он же имеет место для ур-ий (3),(4). Аналогично во втором случае альтернативы.

Теор3. Ур-ия (2) и (4) имеют равное число ЛНЗ решений.

Теор4. Во втором случае альтернативы (1) имеет решение ортог любому решению ур (4)

Доказательство всех теорем :

, где

при этом

Теор1. 1 случай альтернативы: (1) имеет ед решение при Ɐ непрерывной правой части имеет ед решение сист имеет только тривиальное решение (2) имеет только решение

2 случай альтернативы: (2) имеет нетрив решение имеет нетр решение т.е не имеет ед решения (1) не имеет ед решения.

Теор2. Пусть 1-ый случай альтернативы реальзуется для ур-ий (1) (2). Тогда . Но при этом 1 случай альтер реализуется для и соотв. для (3), (4). Ед решение (3) : , где ед реш . Ед реш (4) : , где ед реш .

Пусть 2-ой случай альтернативы реальзуется для (1) (2). Тогда . Соот имеет нетр реш (4) имеет нетр реш, а соот . Т.о. 2 случай альт имеет место и для (3) (4).

Теор3. Если , то (2) и (4) имеет только трив реш (кол-во ЛНЗ реш в обоих случаях =0). Если , то имеет ЛНЗ решений (ФСР). Пусть это . Тогда произвольные постоянные) , . Тогда решение (2) , где строка решений : . Т.о. любое решение явл линейной комбинацией функций . Покажем, что ЛНЗ. От противного. Пусть нетрив набор . Это равносильно . Тогда , где ненулевой столбец (т.к. , а столбцы D – ЛНЗ ). Это обозначает, что нетривиальный набор . Но ЛНЗ. Противоречие. Оно возникло из предположения, что ЛЗ. След они ЛНЗ. Т.е любое реш ур (1) может быть представлено в виде , т.о ур-ие (2) имеет ЛНЗ реш.

( Опр. любой набор из (n-r) ЛНЗ реш будем называть ФСР ур (2)). Аналогично для (4) имеем, что и т.о реш (4) м быть предст в виде . Получим, что (2) и (4) имеют одно и то же ЛНЗ кол-во решений, именно (n-r).

Теор4. Пусть имеет место 2 случай альтер, ур-ие (1) имеет реш совм ортог реш т.е выполнено, что любое реш ,т.е. ортог произ решению (4) #

Видим, что 1 и 2 случаи альтернативы реализ в зав-ти от того, явл ли число корнем ур-ия , наз хар. Если явл корнем ур-ия , то реализ 2 случай альт, а если не корень, то реализ 1 случай.