15. Геометрическая интерпретация интегральной поверхности квазилинейного уравнения.

Теор. (О геом. смысле характеристик квазилин. ур-ия)

Интегр. пов-ть квазилинейного неоднородного УЧП (1) целиком состоит из характеристик (т.е. через каждую точку прох. хар-ка целиком принадл. инт. пов-ти)

Док-во: Пусть решение () (т.е. задает в инт. пов-ть). Рассмотрим систему (**) или отвеч. ей авт систему Решение (2) задает траекторию в фаз. пр-ве (в парам. форме) , тогда задает в парам форме кривую лежащаю на инт пов-ти:

П окажем, что всякая кривая, задаваемая системой (3) явл. характеристикой :

Совестно с (**) это даёт, что , т.е. (3) определяет характеристику.

Замеч. Система ур-ий (4) она задает векторные линии поля . Т.о. интегральная пов-ть квазилин. УЧП формируется вектор. линиями поля . Такие пов-ти (сформированные вект. линиями поля) называются векторными трубками, т.о. инт. пов-ть квазилинейного УЧП явл. вект. трубкой поля .

16. Задача Коши для квазилинейного уравнения. Тсе (обсуждение на качественном уровне)

Задача Коши для квазилинейного уранения.

Будем рассм. случай для

неизв. непр. диф. функция незав. перем.

заданные непр. диф. функции

Пусть в пр-ве задана крива Г :

Задача Коши: найти инт. пов-ть уравнения (1), проход. через кривую Г (2).

Поскольку инт. пов-ть УЧП (1) состоит их хар-к, то мы получим искомую пов-ть проведя хар-ки через каждую точку кривой Г. Они и сформируют инт. пов-ть. Проблема заключается в том, что может оказаться, что Г (или некоторый ее кусок) совпадает с хар-кой. В этом случае ЗК не будет иметь ед. реш.

2 различные инт. пов-ти, проход. через Г(кот. явл. хар-кой)

Теор. (ТСЕ реш. ЗК)

Если Г – гладкаяя кривая ни в одной точке не касается характеристик УЧП (1), то инт. пов-ть этого ур-ия, проход. через Г.(без док-ва)

Замеч. Ур-ия характеристик имеют вид . Т.о. кас. вектор к хар-ки имеют компоненты и условия не касания кривой Г характеристики приобретают вид усл. отражает не коллинеарнгость кас. век-ров характеристик и кривой Г

17. Алгоритмы решения Задачи Коши в случае неявного или параметрического задания поверхности.

1. Пишем хар. систему и находим 2 ФНЗ I-инт. этой системы. Пусть это будут . Тогда где Ф – произв. непр. диф. фун-ия : задает в неявном виде обшее решение (1) т.е. в неявном виде задает всевозможные инт. пов-ти. Нас интересует только та, которая проходит через Г. обозначим ф-ию, кот. она задается неявно буквой .

2. Поскольку искомая инт. пов-ть проходит через Г, то .

Фактич. Ф задает связь между и . Нам их всевоз. связей нужно найти ту, которая задает искомую инт. пов-ть. Эту связь мы получим, если из сист. исключим параметр t. В результате этого исключения получим связь вида .

3. Тогда задает искомую инт. пов-ть (в неявном виде)

Замеч. Не всегда кривая Г задается параметрически. Если Г задана как пересеч. гладких пов-тей : В этом случае алгоритм решения ЗК след:

1. Нашли ч. ФНЗ I-инт.

2. Из системы исключаем x,y,z и получаем связь между в виде

3. задает искомую пов-ть (в неявном виде)

Глава. Интегральные уравнения.

18. Сжимающие операторы. Принцип сжимающих отображений. Обобщенный принцип сжимающих отображений.

Банаховы пр-ва. Принцип сжимающих отображений.

Пусть М – метрическое ЛП, т.е. каждой паре эл-тах пост. в соот. число

1. 

2. 

3. 

Если ЛП нормировано, то можно ввести метрину так . На основе метрики вводятся понятия сходимости, непрерывности, фундаментальности и т.д.

Опр. Фунд. пос-ть

Опр. Послед. сходится в М, если

Можно доказать (используя 3), что из сходимости всегда вытекает фундаментальность . Обратное-неверно.

Если рассм. в ЛП рац. чисел пос-ть , т.е. эта пос-ть не явл. сходящ. в , хотя она фундам. (ДОКАЗАТЬ)

Опр. Метр. ЛП называется полным, если любая фунд. пос-ть в этой ЛП сходится.

Опр. Полное нормир. ЛП назыв. банаховым (об. )

Пусть банахово. Рассмотрим ЛО А :

Опр. ЛО А назыв. сжимающим, если (или

Теор. (Принцип сжим. отображений)

сжим. А : неподвижная точка (т.е.

Док-во: Пусть произв. элемент. Строим пос-ть . Докажем, что фундаментальная. Пусть ради опр. . фунд . Покажем, что явл. неподв. точкой А. Покажем, что А-непр. : . Тогда т.е. . Докажем единственность : Пусть . Предположим . Тогда . Но противоречие

Опр. Пусть А – непрер. ЛО : и сжимающий. Тогда А назыв. обобщенным сжим.

Теор. Всякий обобщ. сжим. опер. А : имеет ед. непожвиж. точку в

Док-во: Пусть сжим. и x – непр. т С, т.е. вып., что . Докажем единственность. Всякая неп. точка А явл. неп. точкой С. Но С – сжим. имеет ед. неп. т. А имеет ед. неп. точку.