11. Первые интегралы неавтономных систем. Свойства первых интегралов (без док-ва).
Путем
увеличения количества неизвестных на
1 неавт. сист. (1) можно свести к авт. сист:
Опр.
I-инт.
неавтономной системы (1) в области
будем называть I-инт.
соот. ей авт. сист. (2), т.е. это функция
,
которая
в
,
но сохр. пост. значение на любом решении
системы (1)
Теор. (Геометрический смысл I-инт неавт. системы)
Если
одно
из возможных значений которое может
принимать I-инт.
сист (1), то соотн.
задает в пр-ве перем.
поверхность целиком сост. из интегральных
кривых.
Док-во: ДОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО (аналогично авт. сист.)
Из связи неавт. и авт. системы следует утв. :
Теор1.
Пусть
В окрестности
штук
ФНЗ I-инт.
сист. (1)
Док-во:
Замеч.
Теор2.
У неавт. системы n-го
порядка
I-инт.
явл. ФЗ Док-во:
из связи с авт.
Теор3.
Всякий I-инт.
неавт. системы (1) может быть представлен
в виде :
,
где
ФНЗ
сист. I-инт.
неавт системы (1), Ф – произв. дифф. функция
своих аргументов, не явл. тожд. const.
Док-во:
из связи с авт. системой.
Замеч. о решени нелин. системы. Знание всякого I-инт. сист. авт или неавт позволяет понизить порядок системы (кол-во неизвестных) на 1, не повышая при этом порядок уравнений
Рассмотрим,
например, авт. систему
Пусть
ее I-инт.
в некоторой
,
причем
.
Тогда по ТСЕ о неявной функции
,
задаваемое соотношением (4) :
.
Тогда система (3) перейдет в (5)
т.е.
система стала (n-1)
порядка. Тогда, если нам известны в
некоторой
(n-1)
ФНЗ I-инт.
сист (3)
,
то
в
,
и соот. по ТСЕ для сист. функций, задаваемых
соотн (6)
и соотв. сист. (3) сводится к одному ОДУ
с разд перем.
кот. всегда инт. в квадратурах. Соотв.
получим:
,
а ост. функции определяются подстановкой
в систему (7) .
Рассмотрим теперь неавт. систему (1) и ЗК для нее :
н.у.
внутренняя
точка области.
12. Теорема о получении решения задачи Коши для неавтономной системы с помощью фнз системы первых интегралов.
Теор. (О решении ЗК для неавт сист.)
Пусть
для неавт. сист. поставлена ЗК (7) и в
некоторой
система
ФНЗ I-инт.
неавт. системы (1). Пусть далее
Тогда решение ЗК (8) неявно определяется
из соот.
(т.е. сист. (10) задает решение ЗК (8) в
неявном виде)
Замеч.
(10) можно также записать след. образом
Док-во:
Поскольку
ФНЗ
в
,
то
по
ТСЕ для системы неавт. функций (10) можно
разрешить в
в виде
причем в силу выбора
,
получим, что
Рассмотрим
теперь решение ЗК (8). Обозначим его
.
При t=0
оно удов. сист. (10) т.к. вып. (9). Но при t>0
сохр. свои значения(т.е.
)
на решении, т.е.
будет удовл. сист. (10) и при t>0.
Т.е. решение ЗК уд. сист. (10)
.
А реш. (11) тоже удовл. сист. (10)
.
По ТСЕ эти решения совпадают. т.о. решение
ЗК опред. соотн. (11) (кот. пол. путём
разрешения (10)), т.е. (10) задает решение
ЗК в неявном виде.
Замеч.
Если придавать компонентам
произвольные значения, то получим общее
решение сист (1), т.о. общее решение сист
(1) имеет вид (неявный)
,
где
система
ФНЗ I-инт.
неавт. системы (1), а
произвольные
константы.
При отыскании решения систем на практике обычно испльзуют 2 метода :
исключение неизвестных непосредственно из уравнения системы. Истекается это путем доп. диф., что повышает порядок уравнения
метод интегрируемых комбинаций
Опр. Интегр. комбинация либо представляет собой комбинацию уравнений системы, в которой содержится 2 переменные, и соот. явл. диф. ур. относительно этих переменных, либо это уравнение,обе части которого являются полными дифференциалами. Из любой инт. комбинации можно получить I-инт. , понижает на 1 порядок системы, не повышая при этом порядок уравнения.
Поиск инт. комбинаций упрощается при записи в т. наз. симметрич. форме :
Для
авт. сист.
симм. форма получается путем исключения
t
(как парметра из сист ), т.е.
перпис. в виде (при условии, что
не обращ. в 0 одновр.)
или
(пропорции) это и есть симм. форма записи
Для
неавт. сист.
симм.
форма записи для неавт. системы
При подборе инт. комбинаций обычно используют след. св-во пропорций
Если
истинная
пропорция с общим значением
,
то
Док-во:
