9. Первые интегралы автономных систем. Критерий первого интеграла (док-во). Свойства первых интегралов (без док-ва).

Рассмотрим в некоторой области . Будем полагать, что все непр. диф. в (для вып. усл. ТСЕ Задачи Коши)

Опр. Функция , не равная тожд. константе в области , называется первым интегралом автономной системы (1) в области G, если на любой траектории , лежащей в G функция сохраняет постоянное значение, т.е.

Теор. (Критерий I-го интеграла)

Диф. в G функция тожд. не равная const явл I-инт. системы (1) она удовлетворяет в G уравнению в частных производных

Док-во: Пусть I-инт. системы (1) в G. Рассмотрим ЗК в G : Так как непр.диф в G рашение ЗК. Пусть решение ЗК. Тогда Полагая здесь t=0, получим, что , т.е во всей G вып. ур. (2)

Пусть улов. уравнению (2) в Тогда решение сист. (1) , т.е. u сохраняет пост знач. на решении это I-инт.

Замеч. Часто I-инт. называют не саму функцию а соотношение

Геометрический смысл I-инт. автономной системы.

Пусть одно из возможных значений, которое может принимать I инт. на некотром решении сист. (1). Тогда соотношение задает в (n+1) мерном пространстве перем. цилиндр. пов-ть, целиком состоящую из инт. кривых системы (1).

Док-во: Пусть некоторая точка на пов-ти , т.е. . Расмотрим решение сист. (1) удовл. нач.усл. . Обозначим его ). Поскольку сохраняет постоянное значение на любом решении (1) то инт. кривая целиком лежит на этой пов-ти. По ТСЕ мы можем взять любую точку на этой цил. пов-ти она целиком состоит из интегральных кривых.

Пример. Решим ее :

общее решение системы, которое задает. инт. кривые в пр-ве перем. . Эту систему можно свести к ОДУ или ;

С одной стороны (5) является I-инт. системы (3) с другой стороны (5) задает в пр-ве перем. пов-сть – гиперболический цилиндр. Допустим С=1

10. Функциональная зависимость/независимость первых интегралов.

Рассмотрим систему дифф. в функций

Опр. Система функций называется функционально зависимой (ФЗ), если диф. фун-ия (k-1) переменного одна из функций, например, может быть представлена в виде в .

Если никакую функцию из невозможно в представить таким образом, то система называется функционально независимой (ФНЗ) в

Замеч. Из линейной зависимости функций следует их функциональная зависимость. Обратное неверно.

В мат. анализе доказано, что если для системы функций , то при эта система является ФНЗ, а при она ФЗ

Теор. Пусть не является т.покоя авт. систем(1) (т.е. , тогда в нек.

ФНЗ I-инт. сист. (1) (примем без док-ва)

Почему условие не является т.покоя существенно?

Рассмотрим которую можно свести к .

Покажем, что соотношение не является I-инт. в

в окр-ти этой точки существует один I-инт.

не существует I-инт.

Если бы явл.бы I-инт в , то созр. бы пост. значение вдоль любого луча , т.о. , но I-инт. не явл. тождественной константой. Кроме того, , т.е. нет ни одной ФНЗ функции.

Теор. Если система I-инт. сист. (1) в то для диф. ф-ции≢const k переменных следует что также является I-инт. (1) в

Док-во: Пусть произв. решение (1), тогда сохраняет постоянное значение на любом решении.

Теор. Пусть не является точкой покоя сист.(1) . Если произв. ФНЗ сист. I-инт. (1) в , а тоже явл I-инт. (1) в , то сист. ФЗ в

Док-во: Поскольку I-инт. в , то верно следующее :

(6) можно рассм. при как ОСЛАУ относительно . Поскольку не явл. т. покоя системы, то (6) имеет нетривиальное решение. Это возможно только если

при ФЗ в

Сл.

Теор. Если не является точкой покоя сист.(1) , то в беск. много I-инт., при этом, если сист. ФНЗ в I-инт., то I-инт. сист (1) в имеет вид , где Ф – произвольная диф. фун-ия своих аргументов.

Док-во: следует из предыдущих теорем.