6. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости тривиального решения автономной системы
Пусть точка покоя(положение равновесия) системы (1) (т.е. ) Далее предполпгаем, что непр. с частными производными 1-го порядка в области включающей т. покоя. Пусть непр. диф. в
Опр. Производной функции в силу системы (1) называется
Опр. Назовем окрестностью т. покоя множество и прокол. окрестностью – множество
Опр. Функция называется положительно определенной в если :
Отрицательно опр. Функция определяется аналогично
Теор1. (Ляпунова об устойчивости точки покоя автономной системы)
Пусть (1) обладает т. покоя (т.е. – ее решение). Если и полож. опр. непр. диф. в функция , то устойчивая точка покоя.
Замеч. Напомним, что исследование ненулевой точки покоя исходной системы можно свести к исследованию нулевой точки покоя модифицированной системы (путем замены переменных)
Если т. покоя (1) делаем замену , тогда будет нулевой точкой покоя системы . Далее считаем
Теор 2. (Ляпунова об ас. ус. т. покоя авт. системы)
Если
кроме условий Теор1, выполнено, что в
некоторой
непр.
и положит. опр., такая что
,
то
асимп.
устойчива.
Док-во:
требуется доказать, что
.
Это равносильно тому, что
.
Поскольку
,
то
не возрастает при увеличении t,
и кроме того
.
По теореме о существовании предела у
монотонной огр. функции, имеем
.
Покажем,
что случай
невозможен. От противного. Пусть
,
тогда
проинтегр. это неравенство по t
(от
до t)
или
.
Каково бы ни было
(огр.
в силу непр.
)
при дост. больших t
правая часть будет <0
при этих же временах
,
но
полож.
опр. поэтому невозможно - противоречие
т.е.
,
т.е.
#
Полож.опр. функция называется функцией Ляпунова системы (1)
7. Теорема Четаева о неустойчивости тривиального решения автономной системы
Теор3. (Чатаева о неустойчивости трив. решения автономной системы)
Пусть
система (1) обладает трив. решением и
,
область
(с
границей
,
где
пол.
опр. непр. в
функция
Тогда трив. (нулевое) решение неустойчиво.
Док-во:
тривиальное решение неуст, если
.
Покажем, что это так. Берем любые
и выберем
Рассмотрим решение
и функцию
.
Тогда
не убывает. Тогда траектория
не пересечет
т.к.
на этой линии
,
а
либо
остается для
в области
,
либо
уходит из области через границу
.
Покажем, что реш. не может остаться в внутри при достаточно больших t (предпол., что траектория не покидает )
.
Через траектория пройти не может ⇒ она выходит через границу
Таким
образом, как бы близко мы ни взяли бы
к
можем брать
,
все равно при достаточно больших t
траектория покинет
.
Это и есть неустойчивость. #
Замеч.
В теореме Чатаева
может
состоять и только из одной точки
.
(До-во остается примерно тем же)
8. Исследование на устойчивость по первому (линейному) приближению. Доказательство устойчивости в простейшем случае, когда все сз отрицательны и различны.
Пусть
точка
покоя(положение равновесия) системы
(1) (т.е.
).
Будем считать, что все
дважды диф. в некоторой
.
Тогда в
можно представить в виде
,
где
матрица
первых производных,
k
– некоторая константа, k
> 0, т.е
Лемма1.
Док-во:
Лемма2.
prav
Док-во:
Лемма3.
Док-во:
(вроде
похоже на правду)
Теор. (Об устойчивости т. покоя авт. сис-мы по 1-му приближению)
Если
все корни уравнения
1
часть) имеют отриц. действ. части, то
точка покоя
устойчива асимптотически, (2 часть) а
если хотя бы один из корней имеет
полож.действ. часть, то точка покоя
неустойчива.
Далее считаем (всегда можно добиться заменой перем) 1) Док-во (для вещ. отр. корней) (далеко не факт, что именно это и надо):
(только
1 часть) при условии, что все
отрицательные и различные, причём у
всех корней уравнения
,
алг.кратность = геом. кратности, т.е
невырож. Т :
.
В ок-ти нулевой точки покоя
тогда
(2)
(1)
подставим
.
Сделаем замену переменных
.
Тогда
Рассмотрим
функцию
.
Эта функция полож. опред.
.
Пусть
.
по
лемме 2
– лемма
3
Таким
образом
,
в которой
пол.опр.,
т.о. по т.Ляпунова о асимпт.уст. получаем,
что
ас.уст. т. покоя. #
2)
Док-во:
(только 1 часть) при условии, что у всех
корней
уравнения
алг.кратность = геом. кратности, т.е
невырож. Т :
.
В ок-ти нулевой точки покоя
тогда
подставим (2)
(1)
получим
.
Сделаем замену переменных
.
Тогда
Транспонируем
(
)
Рассмотрим
функцию
.
Эта функция полож. опред.
.
Мы доказали, что все
.
Пусть
.
Тогда
(5)
Подставим
(5) в (4) получим
при
,
т.е. при
.
Таким образом,
,
в которой
пол.опр., а
т.о. по т.Ляпунова о асимпт.уст. получаем,
что