Кратные ненулевые действительные корни

1. 2 ЛНЗ СВ

ЛНЗ образуют базис на плоскости

Всевозможные траектории имеют вид прямая, проходящая через точку покоя по направлению

ас.устойч.

неустойчивый

Такой тип точки покоя называется дикритический узел

2. АК >ГК

Пусть единственный ЛНЗ СВ, отв.

Тогда , где какое-либо решение

ЛНЗ

Перейдем в базис

Если

Если

Пусть ради простоты

Тогда

При произвольных

В целом фазовый портрет имеет вид :

Т акой тип точки называется вырожденный узел

При этом, если , то точка покоя неустойчивая, а если , то асимптотически устойчива

( )

В озвращаемся в исходный базис

Кратные нулевые СЗ.

1. А К = ГК

не изменяются при изменении t.

Вся плоскость покрыта точками покоя (нулевая точка покоя, устойч., но не асим.)

2. , где решение

Перейдем в

парам. уравнение прямой, проходящая через в направлении (0,1)

Модель потоков движущиеся в противоположных направлениях

В исходном базисе:

В этом случае нулевая точка покоя неустойчива. Любая т., находящаяся при t=0 сколь угодно близко к (0,0) при t>0 покинет ее окрестность по прямолинейной траектории.

5. Теорема Ляпунова об устойчивости тривиального решения автономной системы

Пусть точка покоя(положение равновесия) системы (1) (т.е. ) Далее предполпгаем, что непр. с частными производными 1-го порядка в области включающей т. покоя. Пусть непр. диф. в

Опр. Производной функции в силу системы (1) называется

Опр. Назовем окрестностью т. покоя множество и прокол. окрестностью – множество

Опр. Функция называется положительно определенной в если :

1. 

2. Отрицательно опр. Функция определяется аналогично

Теор1. (Ляпунова об устойчивости точки покоя автономной системы)

Пусть (1) обладает т. покоя (т.е. – ее решение). Если и полож. опр. непр. диф. в функция , то устойчивая точка покоя.

Замеч. Напомним, что исследование ненулевой точки покоя исходной системы можно свести к исследованию нулевой точки покоя модифицированной системы (путем замены переменных)

Если т. покоя (1) делаем замену , тогда будет нулевой точкой покоя системы . Далее считаем

Док-во: ( , т.е. исс. на устойч. трив. реш.)

#Трив. решение (1) называется устойчивым , если Берем . Пусть и рассм. . Обозначим ее границу . является замкнутым ограниченным множеством непр. достиг. на ней своей нижней грани, т.е .

Далее и непрер. в .

Выберем теперь в качестве любую точку в и рассмотрим решение . не возрастает не пересекает т.е. не выходит за пределы

##От противного: пусть пересек. в некот. т. . Тогда с одной стороны противоречие. ##

Таким образом любое решние, которое при наход. Внутри при нулевое решение устойчиво.

Полож.опр. функция называется функцией Ляпунова системы (1)