3. Автономные и неавтономные системы. Сведение неавтономной системы к автономной и наоборот. Симметричная форма записи автономной и неавтономной систем

Рассмотрим систему , т.е. не зависит от t. Такие системы называются автономными. Рассмотрим некоторое решение этой системы. При изменении t точка описывают в кривую, назыв. интегральной кривой.

Если в пр-ве перем. рассм. подпространство переменных , то при изменении t, точка также описывает в этом подпространстве некотору. кривую, которая называется фазовой траекторией, а само пр-во перем. называется фазовым подпространством. Т.е. фазовая траектория это проекция интегральной кривой на фазовое подпространство.

Д вижение точки по фазовой траектории в фазовом подпространстве при увеличении t обозначается стрелками.

Опр. Точка фазового подпространства называется точкой покоя (полож. равновесия) автономной системы (1), если при этом явл. стац. реш.). Возникает вопрос об устойчивости т. покоя. Вопрос об устойчивости ненулевой точки покоя можно путем замены переменных свести к вопросу об уст. нулевой т.покоя поэтому далее считаем

Опр. Совокупность фазовых траекторий, дающих представление о решениях системы, называется фазовым портретом.

Вернемся к

Далее считаем, что все непрерывны в некоторой и фазовая траектория не выходит из . Пусть, например, . Тогда , тогда автономную систему можно привести к неавтономной системе, уменьшив кол-во неизвестных. в самом деле из получаем, что Поскольку в , то в ок-ти получаем эквивалентную систему в которой выступает в качестве нового независимого переменного. Число уравнений на 1 уменьшилось, но система стала неавтономной. Можно, наоборот, привести неавт. систему к авт. увеличив на 1 кол-во функций.

Пусть имеется неавтономная система

Положим , тогда получим эквивалентную систему эта система уже автономная, но ее порядок на 1 выше.

Далее займемся изучением автономных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

которая при эквивалентна одному уравнению , а при эквив. одному ур-ию . И обратно, всякое ур-ие вида (11) или (12) сводится к автон. сис-ме (10).

4. Простейшие типы точек покоя автономной линейной системы 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами (подробно, с переходом в базис, в котором траектории имеют простейший вид)

Займемся изучением тривиальной точки покоя системы (10). Рассм. хар. ур-ие . Пусть его корни.

Пусть (корни действительные, различные, отрицательные)

. Рассмотрим поведение решения на фазовой плоскости.

Пусть , тогда или прямая на пл-ти с напр. век-ом . Поскольку , то по мере увеличения t, затухает.

т.е. при увеличении t точки на этой фазовой траектории стремятся к точке покоя (положению равновесия)

Аналогично, если

или прямая на пл-ти с напр. век-ом .

, то по мере увеличения t движутся в направлении точки покоя

Пусть

⇒ (движ. к т. покоя)

⇒

то . Пусть , тогда фазовая траектория при касаются прямых траекторий, отвечающих направлению вектора , т.е. СВ, отвечающий меньшему по модулю СЗ . Поскольку то эта точка покоя. асимптотич. уст.

О пр. Такая точка называется устойчивый узел.

устойчива она, так как решения близкие в любой момент времени остаются близкими при

Перейдем из ОНБ к базису . В этом базисе имеет координаты (1,0), а (0,1). Следовательно, в этом базисе , т.е.

в новой системе координат, тогда

Хар. ур-ие : система имеет те же корни хар ур-ия.

С увеличением t движение идёт к т. покоя

В новой системе координат

При возвращении в исх. базис происходит деформация

Этот случай получается из предыдущего (замена )

Такая точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом

движение в направлении точки покоя по прямой

точки разбегаются по прямой от т. покоя

Перейдём в базис из СВ

, т.е.

К ак бы близко при т. = ни находилась к т. покоя, при она по гиперболич. траектории уйдет от т. покоя (исключение – точка на прямой )

Такая точка покоя называется седлом, она является неустойчивой.

В старой системе:

У этих гипербол асимптоты -

строки матрицы А пропорциональны, т.е.

фазовые траектории – прямые

Е сли , то т. покоится (вся прямая состоит из т. покоя)

Если т. на прямой

неустойчивые точки покоя

устойчивые точки покоя (но не асимптотически, т.к. находясь на произвольной прямой необязательно попадем в (0,0) (но будет к ней приближаться))

Случай различных комплексно-сопряжённых корней

Матрица действительная различные СВ для раз. СЗ

Пусть это

Переход в базис

точка покоя называется центром устойчивым, но не асиптотически

Точка называется неустойчивым фокусом

Точка называется неустойчивым фокусом

Устойчивый фокус(причем асимптотически)

В исходной системе координат – соосные эллипсы

квадрат расстояния от т. (x,y) до т. покоя (0,0)

достигает максимума на одной оси и минимума на другой

тангенсы угла наклона прямых на которых расположены оси эллипса

Возвр. обратно

Центр (устойч., но не асим.)

Н аправление движения по фазовым траекториям всегда можно определить по вектору скорости , посчитанному в любой точке, не являющейся точкой покоя

неустойчивый фокус

устойчивый фокус