27. Краевая задача Штурма—Лиувилля. Оператор Штурма—Лиувилля, его свойства.

Основным диф оператором будем далее считать оператор где

Опр. Задача нахождения нетривиальных решений КЗ

1. 

2. числовой параметр

3. 

назыв задачей Штурма-Лиувилля (ЗШЛ). При этом значения , при которых нетрив реш назыв СЗ ЗШЛ, а сами нетрив решения, отвечающие им, собственными функциями.

Далее рассмотрим

Опр. назыв классической областью опр ЗШЛ. Оператор рассм на назыв классическим оператором Ш-Л.Будем далее рассм классич опер Ш-Л и обозначать его .

Лемма1. Если , то удовл условиям

Док-во: Если КУ 1го рода, то и Если КУ 2го рода, то Если КУ 3го рода, то . На правом конце аналогично.

Упр. Доказать, что образует ЛП.

В этом ЛП можно ввести скалярное произведение по формуле . После введения СП это ЛП становится нормированным :

Докажем след св-ва оператора Ш-Л:

1. L – самосопр ЛО (ССО) (т.е. )

Док-во: Рассмотрим

2. Все СЗ ЗШЛ действительные (это следствие самосопр ОШЛ)

Док-во: Пусть СФ ОШЛ, отвеч СЗ . Покажем, что . тогда

3. CЗ ОШЛ простые т.е. каждому СЗ отвеч только одна ЛНЗ собств фуе-ия

Док-во: Если СФ отвеч СЗ , то поскольку являются реш лин ур-ия с непрер коэфф , то на [a,b]. С другой стороны противоречие. Т.о. невозможно, чтобы 2 ЛНЗ СФ отвеч одному СЗ #

Лемма2. Если операторы КУ 1 или 2 рода, либо 3го рода, где и , то

Док-во: докажем, что (4)

Если Г – усл 1го рода, то

Если Г – усл 2го рода, то

Если Г – усл 3го рода, то . При любой комбинации КУ выполняется (4) утверждение леммы#

4. Если , то СЗ ЗШЛ

Док-во: Пусть СФ отвеч СЗ #

5. СЗ ЗШЛ образуют пос-ть # б/д#

Замеч. Если , то

Замеч. может иметь только ЗШЛ с и КУ 2го рода на обоиз концах.

6. СФ отвеч различным СЗ ортогон.

Док-во: #

След из 5 и 6. СФ ЗШЛ образуют бесконечную ортогональную систему.

28. Теорема Стеклова (б\д)

Теор. (Стеклова) (о полноте системы СФ ЗШЛ) Если , а сист всех ЛНЗ СФ ЗШЛ то , где и ряд сход абс и равн-но на [a,b] к функции # б/д #

29. Функция Грина однородной краевой задачи для уравнения 2 порядка. Тсе. Решение неоднородной кз с помощью функции Грина. Симметричность функции Грина самосопряженного уравнения.

Функция Грина (ФГ) краевой задачи.

Пусть диф оператор 2го порядка

Неоднородной КЗ сопоставим однородную КЗ

Опр. Функцией Грина (ФГ) краевой задачи (2_ (или (1)) назыв функция , опред на П , облад след св-вами :

1. (в частности )

2. (по перемнной х)

3. 

4. 

Теор1. Если однородная КЗ имеет только трив реш, то ФГ краев зад (2) (или(1))

Док-во: Рассмотрим однор ур-ие . Построим

1. ФСР этого ур-ия Для этого рассмотрим след задачи Коши (ЗК) По ТСЕ решения ЗК для лин ур-ия с непрер коэфф, решение каждой из задач (3) и(4) . Решение КЗ1 (3) очев уд , а реш КЗ2 (4) уд . Обознач их далее соот. Проверим ЛНЗ (от противного). Док, что ЛЗ на . Тогда не может быть решением ЗК2 (4). Противоречие. Оно означает, что ЛНЗ и т.о образуют ФСР.

2. Ищем в виде : (тогда для нее вып св-ва 2 и 4). Св-во 1(непр). .

Св-во 3(скачок произв) . Из (5) и (6) получаем СЛАУ относительно на Таким образом,

3. Единственность. Пусть для ФГ рассматриваемой КЗ. Их разность облад след св-вами :

1. 

2. по перем x

3. (т.к. обл ф-ия имеют один скачок)

4. по перем х

Из 2 но тогда из 3 получим, что прав часть непрер в П уд ур-ию и однор условиям т.е. по условию #

Теор2. В услов Т1. КЗ(1) , причем , где ФГ КЗ (2)

Док-во:

1. Существование. Пусть ф-ия оп-ся соотн (7), тогда Покажем, что дейс реш КЗ (1).

. Т.е. на . Из (8) . Из (9) . Тогда . Аналогично . Т.о. явл решением КЗ (1).

2. Единственность. Пусть решение КЗ(1). Рассм . Тогда уд КЗ Но одн КЗ по усл имеет только трив реш #

Сл. Поскольку ФГ КЗ (2) однор КЗ (2) имеет только трив реш и реш неоднор. КЗ и опр формулой (7) однор КЗ имеет только трив реш.

Замеч. Линейное ур-ие с непр на [a,b] коэфф, , и непр приводится к виду путем умнож на при этом можно взять . Однако ФГ можно строить и непосред для ЛЗ для ур (10). При этом условие 3 имеет вид В ост построение аналогично.

Замеч. Если КУ не раздел и имеют вид

. то в виде

Где произв ФСР однор. ур-ие (10). Из св-в 1 и 3 ФГ имеем СЛАУ. кот имеет ед реш

Подставив (12) в (11), найдем из КУ. После этого получим

Замеч. Аналог образом можно строить ФГ если КЗ рассм на . А также в случае, когда обращ в ноль на одном из концов. при этом КУ могут иметь спец вид. Обычно это условие ограниченности на соотв конце.

Теор3. ФГ КЗ (2) симметрична :

Док-во: Рассм фор-ла Остр-Лиув #