Оглавление

ГЛАВА. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ. 2

1. Определение устойчивости по Ляпунову решения системы ОДУ первого порядка. Асимптотическая устойчивость. 2

2. Теорема о устойчивости и асимптотической устойчивости решения линейной системы с постоянными коэффициентам (доказательство для случая простых вещественных отрицательных корней). Фазовое пространство. Фазовые траектории. Фазовый портрет. Точки покоя (положения равновесия). 4

3. Автономные и неавтономные системы. Сведение неавтономной системы к автономной и наоборот. Симметричная форма записи автономной и неавтономной систем 7

4. Простейшие типы точек покоя автономной линейной системы 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами (подробно, с переходом в базис, в котором траектории имеют простейший вид) 8

5. Теорема Ляпунова об устойчивости тривиального решения автономной системы 18

6. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости тривиального решения автономной системы 19

7. Теорема Четаева о неустойчивости тривиального решения автономной системы 20

8. Исследование на устойчивость по первому (линейному) приближению. Доказательство устойчивости в простейшем случае, когда все СЗ отрицательны и различны. 21

9. Первые интегралы автономных систем. Критерий первого интеграла (док-во). Свойства первых интегралов (без док-ва). 24

10. Функциональная зависимость/независимость первых интегралов. 25

11. Первые интегралы неавтономных систем. Свойства первых интегралов (без док-ва). 27

12. Теорема о получении решения задачи Коши для неавтономной системы с помощью ФНЗ системы первых интегралов. 29

Уравнения в частных производных первого порядка. 31

13. Линейное однородное уравнение в частных производных. Частное и общее решение. Интегральная поверхность. Характеристическая система. Характеристики. Теорема об общем решении. 31

14. Квазилинейное уравнение в частных производных. Частное и общее решение. Интегральная поверхность. Характеристическая система. Характеристики. Теорема об общем решении. 33

15. Геометрическая интерпретация интегральной поверхности квазилинейного уравнения. 34

16. Задача Коши для квазилинейного уравнения. ТСЕ (обсуждение на качественном уровне) 35

17. Алгоритмы решения Задачи Коши в случае неявного или параметрического задания поверхности. 36

ГЛАВА. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 36

18. Сжимающие операторы. Принцип сжимающих отображений. Обобщенный принцип сжимающих отображений. 36

19.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. ТСЕ решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. 38

20.Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТСЕ решения интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода. 38

20.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Его 40

эквивалентность СЛАУ. 40

22.Сопряженные СЛАУ. Теоремы Фредгольма для СЛАУ (Т1-Т4) 41

23.Сопряженное уравнение. Теоремы Фредгольма для интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром (Т1-Т4) 44

24.Линейные операторы (ЛО) в ЛНП. Ограниченные ЛО. Норма ЛО. Непрерывные ЛО. Свойства ограниченных ЛО и нормы ЛО. Пространство 44

Теорема о банаховости пространства B→B. 44

25.Ряды в B→B. Обратный оператор. Резольвента. Приложение к ИУФ2, ИУВ2. Итерированные ядра. Резольвента ядра. 47

ГЛАВА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ НА СОБСТ ЗНАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОДУ 1ГО ПОРЯДКА. 50

26. Краевая задача для ОДУ 2 порядка. Основные понятия. 50

27. Краевая задача Штурма—Лиувилля. Оператор Штурма—Лиувилля, его свойства. 51

28. Теорема Стеклова (б\д) 53

29. Функция Грина однородной краевой задачи для уравнения 2 порядка. ТСЕ. 53

Решение неоднородной КЗ с помощью функции Грина. Симметричность функции Грина 53

самосопряженного уравнения. 53

Глава. Теория устойчивости.

1. Определение устойчивости по Ляпунову решения системы оду первого порядка. Асимптотическая устойчивость.

Рассмотрим норм. систему ОДУ

или кратко

Далее считаем, что функции опр. и непр. В . Пусть Рассмотрим ЗК Будем для простоты считать, что решение ЗК существует и оно не выходит из области D при . Обозначим решение ЗК с н.у. след.образом . Рассмотрим вместе с ним решение ЗК, удов. другому н.у. . Т.е.

Опр. Решение ЗК называется устойчивым по Ляпунову, если

Совокупность вектор столбцов(строк) функций с обычными операциями сложения и умножения на числа, образ. ЛП, в котором можно ввести норму, например,

Если , что какое бы малое мы бы ни взяли при том, что найдется то решение будет неустойчивым.

Опр. Решение называется асимптотически устойчивым, если :

1. Оно устойчиво по Ляпунову

2. 

Замеч. Можно показать, то уст. и ас. уст. не зависит от выбора , поэтому в дальнейшем считаем

Исследование устойчивости нетривиального решения исходной системы можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения модифицированной системы.

Пусть решение удовлетворяющее условию . Рассмотрим . Тогда т.е. реш. системы (1) переходит в решение системы (4).

При этом отклонение

Т. о. вопрос об устойчивости решения ЗК сводится к вопросу об устойчивости тривиального решения системы , где

Далее считаем, что система облад. трив. решением и запишем исслед. уст. и ас.уст. именно тривиального решения.

Рассмотрим систему , обладающую тривиальным решением.

Опр. Тривиальное решение называется устойчивым по Ляпунову, если

Опр. означает, что тривиальное решение неустойчиво

Опр. Тривиальное решение называется ас.уст., если :

1. Оно устойчиво по Ляпунову

2. 

2. Теорема о устойчивости и асимптотической устойчивости решения линейной системы с постоянными коэффициентам (доказательство для случая простых вещественных отрицательных корней). Фазовое пространство. Фазовые траектории. Фазовый портрет. Точки покоя (положения равновесия).

Теор. постоянная матрица с действ. коэф.; орни хар. ур-ия . Тогда:

1) Если , то тривиальное решение ас. уст.

2) Если , то тривиальное решение неустойчиво.

3) Если , причём то тривиальное решение устойчиво но не асимпт.

4) Если и

1) Док-во для отрицательных вещественных корней: prav

Пусть общее решение системы (1) имеет вид:

,

Выразим через нач. условия . Строим биортогональную систему . - базис и

- СЛАУ относительно , которая совпадает с матрицей Грама базиса реш , т.е числа опред ед. образом.

Аналогично строим эл-ты . Умножая последовательно (3) на получим , тогда

. Докажем теперь асим устойчивость. уст асимпт. #

2) Док-во (Иванова): Докажем для случая 1), считая, что у каждого совпад геом и алг кратности, т.е каждому k-кратному корню хар. ур-ия отвеч k ЛНЗ СВ матрицы А.

Пусть действ корни, комплек корни.

Строим действ ФСР в виде

Пусть это будут элементы

далее обозначим . Тогда есть ФСР , причем все .

Обозначим

Выразим константы через нач условия ЗК, т.е через значения , т.е. . Для этого построим биортогональную систему . Разложим (это базис, поэтому возможно) : (1) чтобы найти неизв. коэф. Разлож. (1) умножим послед скалярно на тогда получим :

…

получили СЛАУ (неоднор) с матрицей

которая совпад с матриц Грама базиса реш , т.е числа опред ед образом. Аналогично стрим эл-ты . Т.о. биортогональная система построена. Теперь рассмотрим : . Умножим (2) пос-но скалярно на . Получим : . Т.е. . Оценим

Т.о. . . Т.о. . Значение выберем след образом : . Тогда . Т.о решение уст по Ляпунову. Докажем теперь асим устойчивость. уст асимпт. # Остальные пункты (и даже этот когда АК>ГК) без док-ва.

Далее эти случаи будут рассм. на примере системы 2-го порядка.

Рассмотрим систему , т.е. не зависит от t. Такие системы называются автономными. Рассмотрим некоторое решение этой системы. При изменении t точка описывают в кривую, назыв. интегральной кривой.

Если в пр-ве перем. рассм. подпространство переменных , то при изменении t, точка также описывает в этом подпространстве некотору. кривую, которая называется фазовой траекторией, а само пр-во перем. называется фазовым подпространством. Т.е. фазовая траектория это проекция интегральной кривой на фазовое подпространство.

Д вижение точки по фазовой траектории в фазовом подпространстве при увеличении t обозначается стрелками.

Опр. Точка фазового подпространства называется точкой покоя (полож. равновесия) автономной системы (1), если при этом явл. стац. реш.). Возникает вопрос об устойчивости т. покоя. Вопрос об устойчивости ненулевой точки покоя можно путем замены переменных свести к вопросу об уст. нулевой т.покоя поэтому далее считаем

Опр. Совокупность фазовых траекторий, дающих представление о решениях системы, называется фазовым портретом.