Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_2. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка. Л. 06-07
.pdf
2.4. Квазилинейные УрЧП 1-го порядка.
Рассматриваем уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , … , , ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∑ |
( , … , |
|
, ) |
1 |
|
|
|
|
= ( , … , , ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или в векторных обозначениях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∑ |
( , ) |
= |
|
( , ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции ( , ), = 1, … , и |
|
0 |
( , ) считаются непрерывно дифференцируемыми в +1 (или в x , где |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– область в ); ∑ |
2( , ) > 0 в +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопоставим квазилинейному УрЧП (1) линейное однородное УрЧП: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
( , ) |
+ ( , ) |
= 0 |
= ( , ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 5. (О виде решения квазилинейного уравнения)
Пусть = ( , )– непрерывно дифференцируема в +1 и является решением УрЧП (5).
Предположим, что уравнение ( , ) = 0 определяет в некоторой области непрерывно дифференцируемую
функцию = ( ) = ( |
, … , ) и, кроме того, |
|
| |
|
≠ 0 (*) в области . |
|
= ( ) |
||||
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Тогда = ( ) – решение уравнения (4).
Замечание. Уравнение ( , ) = 0 определяет решение = ( ) УрЧП (1) как неявную функцию.
(4)
(5)
Доказательство. Рассмотрим уравнение ( , ) = 0 , определяющее непрерывно дифференцируемую в области функцию = ( ) = (1, … , ). Тогда по теореме о неявной функции (с учетом условия (*)) следует
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|= ( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставим в УрЧП (1) эту функцию ( ) и ее частные производные : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( , ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∑ |
|
( , ( )) [− |
|
|
|
|
|
|
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( , ( )) |
|
( , ( ) = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
=1 |
|
|
|
|
( , ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
( , ( ) =1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
=[в силу (2) ∑ |
|
( , ) |
|
|
+ ( , ) |
|
= 0 ] = |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(−0 |
|
) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Т.е. оказалось, что
∑ ( , ( )) = 0( , ( )) .
=1
Следовательно, = ( )– решение УрЧП (4).
Из Теоремы 1 ясен алгоритм, как решать УрЧП (4):
1) Находим общее решение линейного УрЧП (5)
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( , ) |
+ ( , ) |
= 0 |
= ( , ) , |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для этого:
а) Находим n I-х независимых интегралов характеристической системы
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ1 |
( , ) = 1 |
||||
1 |
= |
|
2 |
|
= = |
|
|
= |
|
|
|
{ |
… |
( , ) |
|
( , ) |
|
( , ) |
|
( , ) |
|||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Φ |
( , ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) выписываем общее решение в виде = (Φ1( , ), … , Φ ( , )).
2) Решаем уравнение (Φ1( , ), … , Φ ( , )) = 0 относительно = ( ).
Тогда всякое такое ( ) – решение квазилинейного УрЧП (4).
Замечание 1. Пункт 2 не всегда реализуем аналитически; часто решение ( ) оставляют в неявном виде – как решение уравнения (Φ1( , ), … , Φ ( , )) = 0 относительно ( ).
Замечание 2. В принципе, теорема 1 не исключает возможности существования и некоторых других решений УрЧП (4). Например, если функция ( , ) не является решением УрЧП (5) для всех ( , ), т.е. не обращает (4) в тождество,
а такова, что для этой ( , ) |
равенство ∑ |
|
|
( , ) |
|
+ |
|
( , ) |
|
= 0 выполнено только при = ( ), |
|||||||||||||
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
∑ |
|
( , ) |
|
| |
|
+ |
( , ) |
|
| |
|
|
|
|
= 0 |
, |
|
|
|||||
|
= ( ) |
|
= ( ) |
|
|
||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а для других оно неверно.
Тогда такие = ( ) могут не определяться формулой (Φ1( , ), … , Φ ( , )) = 0.
Такие решения УрЧП (4) – называют «специальными». И не входят в рассмотрение в данном курсе.
