Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_2. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка. Л. 06-07

Определение.1. Непрерывно дифференцируемая в функция Ф( , , … , )

называется I-м интегралом системы

1

̇=

( , , … , ), = 1, , если для любого решения

= ( ), … ,

( )

=

( ) этой системы существует константа C такая,

1

1

1

что Ф( , ( ), … , ( )) = для ≥ 0.

1

Аналогично определяется I-й интеграл Ф

( , … ,

) автономной системы ̇=

( , … ,

), = 1, : Ф

( ( ), … ,

( )) = .

0

1

1

0

1

Далее везде считаем

( ,

, … ,

), = 1, и Ф(

, … ,

) – непрерывно дифференцируемыми в .

1

1

Теорема 1. (Критерий I-го интеграла). Для того, чтобы Ф( , … ,

) была I-м интегралом системы

1

̇=

( , … ,

), = 1,

1

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

( , … ,

)

Ф

+

( , … , )

Ф

+ +

( , … ,

)

Ф

= 0

( , … , )

(1)

1

1

2

1

2

1

1

1

2

Ф

(Коротко: ∑

( )

= 0 ).

=1

Доказательство. Необходимость: (

Ф( )– I-й интеграл верно (1) ).

Возьмем любое решение системы = ( ), = 1, . Так как Ф( )– I-й интеграл, то

Ф

Ф

Ф( ( ), … ,

( )) =

0 =

Ф( ( ), … , ( )) =

∑

( ( ), … ,

( )) • ̇ = ∑

( ( )) •

( ( )) , ≥ 0.

1

1

1

=1

=1

Ф

(0) = (

0, … , 0)

∑

( (0)) ∙

( (0)) = 0.

1

=1

В силу произвольности точки (0) =

(

0, … , 0)

это означает выполнение равенства (1).

1

Достаточность: ( Из справедливости (1) Ф( ) есть I-й интеграл системы ).

Дано:

(̃ , … , ̃

)

Ф

(̃ , … , ̃

) +

(̃ , … , ̃

)

Ф

(̃ , … , ̃

) + +

(̃ , … , ̃

)

Ф

(̃ , … , ̃

) = 0

(̃ , … , ̃

)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

Тогда в качестве ̃ =

(̃ , … , ̃

) можно взять точки любого решения системы, т.е. точки ( ) = (

( ), … ,

( ))

1

1

Ф

∑

( ( ))

∙

( ( )) , ≥ 0.

=1

Но, так как это – решение, то ̇=

( ,

, … ,

), = 1, и поэтому

1

Ф

∑

( ( )) ∙

=

Ф( ( ), … , ( )) = 0 ≥ 0.

1

=1

Таким образом, Ф( ( ), … ,

( )) = для ≥ 0, а это и есть определение I-го интеграла для системы ОДУ.

1

Пусть = ( , … ,

) определена в некоторой области и имеет непрерывные производные ′

, ′

2

, … , ′

. Если

1

1

считать, что (

, … , ) – неизвестная, то уравнение

1

( , … ,

, , ′

, ′

, … , ′

) = 0 ,

(УрЧП-1)

1

2

1

( , … ,

)

∑

( , … , )

1

= 0

(1)

1

=1

где

( , … ,

) =

( ) – заданные функции (в ).

1

Б) ∑

2

(

, … , ) ≠ 0

1

=1

̇ =

( , … , ),

1

1

1

{

…

(2′)

̇ =

( , … , )

1

1

=

2

= =

(2)

( , … , )

( , … ,

)

( , … , )

1 1

2

1

1

Система (2) состоит из ( − 1) уравнений и называется характеристической системой.

Определение. Решения системы (2) называются характеристиками УрЧП (1).

Эти решения в параметрической форме:

= ( ), … ,

=

( )

являются решениями системы для характеристик (2′).

1

1

( )

̇ =

( , … ,

), = 1, … ,

∑

( )

= 0

1

=1

т.е. ( , … ,

) есть I-й интеграл системы (2′).

1

Пусть ( , … ,

)

– решение УрЧП (1), а

( ), … ,

( )– характеристики (т.е. решения ОДУ (2′)).

1

1

Тогда ( ( ), … ,

( )) = ≥ 0 .

1

И обратно: если ( , … ,

)– I-й интеграл системы (2’) то это решение УрЧП (1).

1

Пусть мы решаем УрЧП вида ( , )

+ ( , )

= 0.

Находим его характеристики, решая ОДУ:

̇= ( , )

=

= ( ), = ( ).

{ ̇= ( , )

( , )

( , )

Тогда для любого решения = ( , )

( ( ), ( )) =

≥ 0

( ) = , … ,

−1

( ) =

в , ( =

( , … , )) .

1

1

−1

1

Если ( , … ,

)– любая непрерывно дифференцируемая функция (в −1) , то функция

−1

= ( 1( ), 2( ), … , −1( ))

есть решение УрЧП (1).

Доказательство. Найдем

−1 Ψ

=

∑

=1

и подставим в УрЧП (1):

−1

Ψ

−1

Ψ

∑ ( )

= ∑

( ) ∑

=

∑

∑

( )

= 0

(∑

( )

= 0, крит. I интеграла) ;

=1

=1

=1

=1

=1

=1

таким образом, есть решение УрЧП (1).

Таким образом, есть решение.

Теорема 3. (О виде общего решения) Если I-е интегралы из теоремы 2 такие, что якобиан

1

1

…

1

|

1

2

−1 |

( , … ,

)

2

2

2

|

1

−1

| =

…

≠ 0

( , … ,

|

1

2

…

−1

1

−1)

…

…

…

|

−1

−1

…

−1

1

1

−1

в некоторой точке

Х(0)((0), … , (0)) то для любого решения = ( ), = ( , … , )