Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_1_Элементы_теории_устойчивости_Л_03_05
.pdf
Алгоритм исследования точек покоя и фазовых портретов
Пример.
Разобранны все возможные частные случаи случаи при n=2. Однако, они наглядно иллюстрируют более общие ситуации, возникающие при исследовании устойчивости решений нелинейных систем ОДУ в близи точек покоя, описываемые в общей теории, в частности с использованием «первого приближения» (напомним):
Пусть в некоторой окрестности точки покоя = |
0, … , |
= 0 функции |
( , … , ), = 1, … , , дважды непрерывно |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
дифференцируемы. Тогда, если собственные значения |
|
матрицы = [ |
|
],где |
= |
|
(0, … 0), |
= 1, … , , |
= 1, … , , |
|||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяют условию < 0, , то решение 1( ) = 0, … , ( ) = 0 системы Х̇= ( , ) точка покоя – асимптотически устойчива. Если же хотя бы для одного номера > 0 , то решение – неустойчиво.
Замечание. Как мы уже отмечали отдельный (критический) случай = 0. В нелинейном случае системы ОДУ n=2 при 1,2 = 0 , 1 ≠ 2 , точка покоя (0,0) будет центром или фокусом. Если траектория (фазовая кривая) симметрична, т.е. имеет ось или центр симметрии, то это – центр.
Достаточные условия центра симметрии:
1( , ) = 1(− , − )2( , ) 2(− , − )
Достаточные условиятого, что оси координат являются осями симметрии траектории:
1( , ) = 1(− , )2( , ) 2(− , )
или
1( , ) = 1( , − )2( , ) 2( , − )
Это следует из равенства
= 2( , )1( , )
так как при выполнении указанных условий траектория = ( ) не меняется вследствие неизменения самого уравнения.
