Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_1_Элементы_теории_устойчивости_Л_03_05

Л.03-04

1.2. Качественные исследования точки покоя простейшей системы ОДУ в случае n=2

Рассмотрим линейную систему с второго порядка постоянными коэффициентами

Фазовая траектория системы (11) является интегральной кривой уравнения (12). При этом точка ≡ ( 1 , 2) = (0 , 0) для уравнения (12) является особой точкой , так как это – точка разрыва правой части уравнения (12) и в ней нарушается условие теоремы существования и единственности решения: точка покоя системы (11) является особой точкой уравнения (12).

Исследование точки покоя O на устойчивость.

3) Собственные числа могут быть:

а) действительными, при этом по знаку – положительными, отрицательными, нулевыми;

салгебраической кратностью 1 или 2;

сгеометрической кратностью 1 или 2,

б) комплексными, при этом

с действительной частью – положительной, отрицательной или нулевой.

Каждому из указанных случаев соответствует свой вид решения, получающийся из общего, тип фазового портрета системы и тип устойчивости определяется собственными числами и собственными векторами системы.

Рассмотрим различные возможные случаи.

Из уравнения (15) с учетом, того, что 2 − 1 < 0 следует, что

числу 1.

В случае 2 > 1 > 0 получаем аналогичную ситуацию, только с той разницей, что точка покоя = O является неустойчивой(так как оба собственных числа положительны), и все фазовые траектории «выходят» из точки покоя (из точки сколь угодно близкой к точке покоя).

Фазовый портрет называется узлом в случаях

действительные, неравные друг другу собственные числа одного знак

устойчивый узел, при 1 , 2 < 0

неустойчивый узел при 1 , 2 > 0 .

Рисунку соответствует | 1| < | 2|

Замечание. При действительных и неравных друг другу собственных числах существует базис из собственных векторов матрицы системы. В этом базисе матрица системы – диагональна и система (11) приводится к виду

0). Такая точка покоя (точка равновесия) системы (11) (для уравнения (12) – критическая точка) называется узлом. И как мы уже отметили ранее при 1 , 2 < 0 – устойчивый узел (асимптотически устойчивый),

при 1 , 2 > 0 –– неустойчивый узел.

Но теперь, с учетом знаков собственных чисел, фазовые траектории I «выходят» из точки покоя = O (т.к. 1 > 0), а фазовые траектории II «входят» в точку покоя = O (т.к. 2 < 0).

Параметрические уравнения фазовых траекторий I и II имеют вид

поскольку 2 < 0 . Таким образом, все фазовые траектории при → +∞ имеют асимптотой фазовые траектории I. Аналогично можно показать, что при → −∞ фазовые траектории имеет асимптотой траектории II (отвечающие 2 < 0).

Случай III.A Существует только один линейно независимы собственный вектор, отвечающий собственному числу

В этом случае жорданова форма матрицы систему представляет собой жорданову клетку размера 2x2, а жорданов базис

лучи фазовыми траекториями I.

Фазовые траектории системы (11), отличные от фазовых траекторий I «входят» ( < 0)в точку покоя = O, касаясь фазовых траекторий I.

В другом случае, когда > 0 , ситуация аналогична, только положение равновесия = O неустойчиво, и фазовые траектории «выходят» из точки равновесия.

Положение равновесия = O называется вырожденным узлом (устойчивым при < 0 и неустойчивым при > 0 )

Таким образом имеем одинаковые углы наклона к которым стремятся фазовых кривых в точке покоя и на бесконечности:

Случай III.Б Существует два линейно независимых собственных вектора, отвечающий собственному числу

При этом, если 2 < 0 , то все точки покоя являются устойчивыми по Ляпунову (но не асимптотически устойчивы), а если2 > 0 , то все точки покоя неустойчивы.