Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_1_Теория_устойчивости_решений_задачи_Коши_Л_05-1

> 0 > 0, = ( ) , ( ‖ ‖ > ( ) ≤ );

0

0

Возьмем

=

1

при n =1, 2, …, получим последовательность { } , для которой ( ) ≤

1

, а ‖ ‖ > .

0

и

В силу ограниченности

последовательности

замкнутости

по

теореме

Больцано-Вейерштрасса из

этой

̃

последовательности можно выделить сходящуюся

подпоследовательность

{

к

}

к

этом,

→ , → ∞, при

очевидно:

̃

(28)

0 ≤ ‖ ‖ ≤

В силу непрерывности ( ) имеем lim (

к

̃

0 ≤ (

к

) ≤

1

, то lim (

к

̃

) = ( ) , а поскольку

) = 0 , т.е. ( ) = 0.

→∞

→∞

И по определению ( ) получаем, что

̃

= О, что противоречит (28).

Второе утверждение. Запишем отрицание второго утверждения:

̃

̃

>

̃

< ),

> 0 > 0, = ( ) ( ( )

‖ ‖

0

0

Фиксируем данное

и положим =

1

> 0,

→ 0

при → ∞ .

Тогда найдется последовательность { } , такая,

0

что ( ) > > 0 ,

но

‖ ‖ ≤ . Из последнего неравенства следует,

что

→ О,

→ ∞,

а следовательно в силу

0

непрерывности ( ) имеем lim ( ) = (О) = 0, что противоречит условию ( ) >

> 0. Лемма доказана.

→∞

0

|

≤ 0 ≥ 0,

.

(29)

в силу

системы

Тогда нулевое решение ( ) ≡ О системы (26) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Рассмотрим произвольное (0, ].

По пункту 1 Леммы > 0, такое, что для

(‖ ‖ > ( ) > ).

С другой стороны, в силу непрерывности ( ) ( ) > 0 , такое, что

(‖ ‖ <

( ) < /2).

1

1

Возьмем начальную точку (0)= 0 в окрестности начала координат, т.е.

‖ (0)‖ <

< , (считая что

< , этого

1

1

1

По выбору > 0 имеем (0) < /2. Предположим, что

> 0 ( ) вышло за пределы -окрестности точки О, т.е.

1

1

1

‖ (1)‖ > , тогда по выбору > 0 имеем ( (1)) > . Следовательно,

( (

1

)

)

−

( (0)

)

>

−

/2

=

/2

>

0.

С другой стороны, по формуле конечных приращений Лагранжа, (0, 1), такое, что

( (

)

−

( (0)

( ( ))|

̇

∙ 1 = ( , ( , ) ) ∙ 1 =

1

)

)

=

∙ 1 =

(, )|

|

∙ 1

≤

0,

=

=

=

в силу

системы

по условию теоремы

.

Получили противоречие. Следовательно

> 0

‖ ( )‖ > . Поэтому > 0

> 0 такое, что 0

1

1

1

Теорема 7. (Об асимптотической устойчивости). Пусть

в шаре

= { ‖ ‖ ≤ } существуют

положительно определенные функции ( ) и ( ) (функции Ляпунова), причем ( ) 1( ), а

( ) ( ),

такие, что

|

≤ − ( ) ≥ 0,

.

(30)

в силу

системы

Тогда нулевое решение ( ) ≡ О системы (26) асимптотически устойчиво.

Доказательство. 1) Так как ( ) – положительно определена, то из (30) следует, что

| в силу ≤ 0 и по теореме 6 нулевое

системы

Рассмотрим произвольное решение ( ) системы (26),

для которого ‖ (0)‖ < . Тогда для доказательства теоремы 7

осталось доказать, что

lim

( ) = О

(31)

→+∞

Из условия (30) и замечания 1 вытекает, что

( ( ))

( )

=

|

≤ 0,

в силу

системы

≥ 0, такой, что lim ( ( )) = ≥ 0

( ( )) ≥

≥ 0 (так как стремление сверху).

→+∞

Докажем, что = 0 от противного. Пусть, напротив, > 0 .

Тогда по второму пункту леммы 1 для > 0

( ) > 0, такое,

что ‖ ( )‖ > , а по первому пункту леммы найдется > 0, такое, что ( ( )) ≥ > 0

т.е. − ( ( )) ≤ − < 0 ≥ 0.

Из этого неравенства вытекает, что

( ( ))

=

( )

| в силу ≤ − ( ( )) ≤ − ,

системы

а, следовательно, по теореме Лагранжа

( ( )) − ( (0)) =

( ( ))

| = ∙ ≤ − ( ( )) ∙ ≤ − .

в силу

Таким образом ( ( )) → −∞ при → +∞, что противоречит положительной определенности ( ),

(в силу первоначального выбора > 0 ( ) , а в шаре функция ( ) положительно определена).

Итак показано, что = 0, значит

lim ( ( )) = 0.

(32)

→+∞

Покажем, что из (32) следует (31). Допустим противное, что > 0 и существует последовательность

→ +∞, для которой

‖ ‖ > . Тогда по первому пункту леммы получим ( (

)) > > 0, что противоречит равенству (32).

Рассмотрим автономную систему:

̇= ( ),

(33)

где ( ) ( ) , (О) = О (X = О – точка покоя).

Пусть в шаре

= { ‖ ‖

≤ } существует положительно определенная функции ( ) 1

( ), такая, что

|

≤ 0,

,

X ≠ О

(34)

в силу

системы

Тогда нулевое решение ( ) ≡ О системы (33) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Поскольку (32) автономна, то производная

| в силу

= ( ( ), ( ))

не зависит от .

системы

Положим ( ) = −( ( ), ( )). В силу условия теоремы

7’ функция ( ) 1( ) является положительно

определенной функцией, причем в силу ее выбора

|

= − ( ).

в силу

системы