Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_1_Теория_устойчивости_решений_задачи_Коши_Л_05-1

Л.05

1.5. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Функция Ляпунова.

условия:

1)(О) = 0;

2), X ≠ О ( ) > 0.

Т.е. функция ( ) имеет строгий минимум в точке X = О (в начале координат).

О( ): О( ) ( ).

3)Возьмем > 0 такое, что О Оо . Тогда, как указано в п.2,

С( ), 0 ≤ > 0 ( ) О и ( ) > 0 О( ) ( ) О .

Это значит, что любая точка ( 1, … , ) О( ) обладает свойством

=∑ ( 1( ), … , ( )) ∙ ( , 1( ), … , ( )) ≤ 0, ≥ 0.

=1

Теорема. (Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть в окрестности Оо начала координат существуют

системы

Тогда нулевое решение ( ) ≡ О системы (26) асимптотически устойчиво. (Точка покоя асимптотически устойчива).

1.6 Заключительные замечания к Главе 1.

1) Вопрос о том какие решения автономной системы ̇= ( ) при n=2 решен до конца.

Во первых, они должны быть ограничены. Далее, есть теория, разработанная Пуканкаре, Бендиксоном и др., в

частности – Теорема Пуанкаре-Бендиксона:

Любое ограниченное решение автономной системы при n=2 должно: a) или стремиться к точке покоя при → +∞;

б) или быть периодичным; в) или стремиться к периодическому решению при → +∞;

В случае в) такое периодическое решение (фазовая траектория) называется предельным циклом.

Определение. Предельным циклом (векторного поля) на фазовой плоскости называется замкнутая (периодическая) траектория, при этом существует окрестность этой траектории в которой нет других периодических траекторий.

Пример уравнения, имеющего предельный цикл – уравнение Ван-дер-Поля ̈+ ε( 2 − 1) ̇+ = 0, которое можно переписать в виде системы: ̇= ; ̇= −ε( 2 − 1) + . Данная система имеет точку покоя (0,0), которая неустойчива и имеет предельный цикл:

2)Вопрос о том, как ведут себя устойчивые решения систем ОДУ при n>2, даже для автономных систем не решен до конца. Оказалось, что такие устойчивые решения лежат на некоторых «многообразиях» в (иногда – это поверхности) или стремятся к этим многообразиям. Такие многообразия называются аттракторы , к ним «притягиваются» остальные устойчивые траектории (асимптотическая устойчивые).

В случае n=2 существует только 2 типа аттракторов (точки покоя и предельные циклы). В многомерно случае аттракторы бывают весьма различные. Например существуют Эстранные аттракторы» – многообразия, которые имеют дробную размерность. Их изучение актуально в связи с развитием теории самоорганизации сложных систем, в которых аттракторы

– это устойчивые состояния системы. Странные аттракторы изучаются в том числе в связи с тем, что в них может генерироваться т.н. «детерминированный хаос».

Пример – аттрактор Лоренца,

Поведение решения при > крит

3)Иногда существование и вид предельного цикла при n=2, легко заметить при переходе к полярной системе координат. Например, в системе ОДУ, записанной в полярной системе координат

{ ̇( ) = ( − 1)( − 2)( − 3)2̇( ) = 1

легко видеть, что устойчивыми являются траектории = 1, = 2, = 3, которые и являются предельными циклами: в -окрестности каждой из этих периодических траекторий нет других замкнутых траекторий (например, при =0.3), характер предельного цикла определяется значением знака ̇( ) вблизи каждой из этих траекторий.

Дополнение 1. О предельных циклах

На фазовой плоскости периодическим решениям автономной системы

̇( ) = ( , )

{ ̇( ) = ( , ). (д1)

Такие решения соответствуют незатухающим периодическим колебаниям в нелинейной динамической (автономной) системе. Если рассматривать поведение фазовой траектории вблизи предельного цикла при → +∞, то предельный цикл может быть устойчивым (аттрактор), неустойчивым (репеллер) и полу-устойчивым.

Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл ( -окрестность), что все фазовые траектории, начинающиеся в -окрестности, асимптотически при t + приближаются к предельному циклу.

Если же, наоборот, в сколь угодно малой -окрестности предельного цикла существует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t + , то такой цикл называется неустойчивым.

Для нахождения предельных циклов не существует простых аналитических методов, таких, как для нахождения положений равновесия (стационарных точек) и исследования их устойчивости. Однако, исследование фазовой плоскости системы позволяет ответить на вопрос, есть в данной системе предельный цикл или нет.

Некоторые критерии отсутствия замкнутых фазовых траекторий (в том числе предельных циклов):

1.Если в системе не существует особых точек, то в ней не может быть замкнутых траекторий.

2.Если в системе существует одна особая точка, отличная от узла, фокуса и центра (например, седло), то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.

3.Если в системе имеются только простые особые точки, причем через все точки типа узел и фокус проходят интегральные кривые, уходящие на бесконечность, то в такой системе нет замкнутых фазовых траекторий.

4.Критерий Бендиксона. Если в некоторой односвязной области 2 выражение + не меняет знака, то в этой области система (д1) не может иметь предельных циклов. (легко доказывается с использованием формулы Грина).

Существует несколько теорем, определяющих наличие предельного цикла п топологическому строению фазовой плоскости, например:

Теорема 1. Пусть на фазовой плоскости существует область, из которой фазовые траектории не выходят и в которой нет положений равновесия. Тогда в этой области обязательно существует предельный цикл, причем остальные траектории обязательно наматываются на него.

Теорема 2. Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая область, такая, что все фазовые траектории, пересекающие границу этой области, входят в нее, и внутри этой области находится неустойчивая точка покоя, то в этой области обязательно имеется хотя бы один предельный цикл.