Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

ДиИУ_3_Ряды_Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2025

Размер:

6.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

5.4 Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами

В теоремах о поточечной сходимости и равномерной сходимости ряда Фурье есть условие на производную ′( ) – она кусочно-непрерывна. А если это не так? Можно ли тогда чем-то заменить равенство

∞

( ) =

+ ∑ (

) = ( ),

– точка непрерывности,

т.е. соотношение:

( ) = lim ( )

= lim (

+ ∑ (

)). ?

→∞

Определение. Пусть > 0,

и ( ), ( ) – заданные на [ , ] функции. Если

|( ) −

( )| < ,

[ , ], то говорят,

что функция ( ) равномерно приближает (аппроксимирует) с точностью функцию ( ) на [ , ].

Далее будем рассматривать тригонометрические многочлены ( ) на [− , ]:

( ) =

+ ∑ (

) ,

− произвольные.

Вопрос:

можно ли для заданной

на [− , ]

функции

( ) найти для

любого

> 0 такой

( ) = ( ), что

( )

|( ) −

( )| < ,

[− , ] ?

Другими

словами:

какие

функции

( )

можно равномерно

приблизить

( )

тригонометрическими многочленами с любой наперед заданной точностью > 0 ?

Теорема (Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции тригонометрическими многочленами).

Если: 1) ( ) [− , ];

2) (− ) = ( ).

Тогда для любого > 0 существует тригонометрический многочлен

( ), такой, что |( ) −

( )| < ,

[− , ].

( )

Для доказательства теоремы, воспользуемся леммой:

Лемма. Если ( ) [ , ], то для > 0 кусочно-гладкая функция ( ), [ , ] такая, что:

|( ) − ( )| < ,

[ , ], причем ( ) = ( ),

( ) = ( )

Доказательство леммы. Т.к. ( ) равномерно непрерывна на [ , ],

то для > 0 такое разбиение

= <

< <

= , что:

| ( ′) −

( ′′)| <

′, ′′

[

, ],

= 1, … , + 1.

−1

Определим кусочно-линейную функцию ( ), как на рисунке:

( ) = ( ) +

(+1)− ( )

( −

[ ,

= 0, … , .

+1−

При этом ( ) = ( ), ( ) = ( ) и верна оценка:

| ( ) − ( )| ≤ | ( ) − ( ) − (+1)− ( ) ( − )| ≤

+1−

≤ [ [ , +1]] ≤ | ( ) − ( )| + | ( +1) − ( )| | ( −− ) | ≤

≤ \| ( ) − ( )\| + \| (		) − ( )\| <		+	=	[ ,		] , = 0, … , ,
≤ \| ( ) − ( )\| + \| (	+1	) − ( )\| <		+	=	[ ,	+1	] , = 0, … , ,
	+1		2	2			+1
			2	2
\| ( ) − ( )\| <	[ , ] . Лемма доказана.

Доказательство теоремы.

По лемме:

> 0 кусочно-гладкая ( ); [− , ], (− ) = ( ) такая, что: |( ) − ( )| < /2 , [− , ].

Функцию ( ) можно разложить в ряд Фурье, и по теореме о равномерной сходимости этого ряда ( ) ( ), [− , ]. Здесь

( ) =

+ ∑ (

) – частичные суммы ряда Фурье для функции ( ).

Значит, |

( ) −

( )| < /2

для [− , ] как только > ( ).

Тогда получается следующее:

> 0 ( )

[− , ]

| ( ) − ( )| ≤

|( ) − ( )| +

| ( ) − ( )| .

Значит, взяв номер ( ) > ( ), мы получим, что

( )( ) | ( ) − ( )( )| < , [− , ].

Теорема доказана.

Теорема (Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции алгебраическими многочленами).

Если: ( ) [ , ], то для > 0 многочлен ( )( ) вида:
	( )	( ) =	0	( ) + ( ) +		2	( ) 2	+ +	( )	( ) ( )
	( )		0		1	2			( )
такой, что \| ( ) − ( )( )\| < ,		[ , ].
Доказательство. Возьмем отрезок [− , ], такой, что [ , ] [− , ].
Доопределим ( ) с отрезка [ , ]		на весь отрезок [− , ],
т.е. введем непрерывную функцию ( ),			[− , ] такую,
что ( ) = ( ) [, ] и (− ) = ( ).
Например, она может быть, как изображено на рисунке.

Тогда по предыдущей теореме существует тригонометрический многочлен ( )( ) такой, что

| ( ) −

( )| < /2,

[− , ].

(1)

( )

Запишем

( ):

( )

+ ∑ (

) =

( )

[

]

используем разложение для функций

sin

cos в ряд

Тейлора

( )

∞

(−1)

(

2 +1

+ ∑ (

∑

(−1) (

)

∑

)

) =

(2 )!

(2 + 1)!

∞

( )

(−1) (

( )

(−1) (

2 +1

)

+ ∑ ( 2 ∑

+ 2 +1 ∑

) =

(2 )!

(2 + 1)!

0	( )				( )	(−1) (	2				( )	(−1) (	2 +1
0				( ),		(−1) (	)			( ) ,		(−1) (	)			( ) ]
[	+ ∑	=	0	( ),	∑			=	2	( ) ,	∑			=	2 +1	( ) ]
2			0			(2 )!			2			(2 + 1)!			2 +1
2	=1				=1	(2 )!					=1	(2 + 1)!
	=1				=1						=1

∞

= ∑ ( 2 2 ( ) + 2 +1 2 +1( )) =

∞

= 0( ) + 1( ) + 2( ) 2 + + 2 ( ) 2 + 2 +1( ) 2 +1 + = ∑ .

Получили:

∞

( )( ) = ∑ ( ) . − степенной ряд.

Этот степенной ряд сходится на [− , ] , так как тригонометрический многочлен ( )( ) там определен. Тогда по теореме о

равномерной сходимости степенных рядов этот ряд равномерно сходится на [1, 1] (− , ) и, в частности на [ , ]:

			( ) = ∑ ( )							( ), [ , ] при → ∞.
								( )
				=0
Отсюда: при заданном > 0 ( ) такой, что
			\| ( )( ) − ( )( )\| <						/2, [, ].													(2)
Значит из (1) и (2) получаем:
	( )
\| ( ) − ∑				\| = \|( ) −				( )\| ≤		\| ( ) −				( )	+			( ) −				( )\| ≤
\| ( ) − ∑		( )		\| = \|( ) −		( )		( )\| ≤		\| ( ) −		( )		( )	+	( )		( ) −		( )		( )\| ≤
						( )						( )				( )				( )
	=0
		≤ \| ( ) − ( )\| +						\|	( ) −		( )\| <				+		=	.
		≤ \| ( ) − ( )\| +						\|	( ) −		( )\| <				+		=	.
				( )				( )		( )				2	2
														2	2
Но на отрезке [ , ]	( ) = ( ) \|( ) −				( )		( )\| < [ , ]						и можно взять						( )		( ) = ( ).
					( )														( )			( )

Теорема доказана.

5.5 Полнота основной тригонометрической системы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Электронный формат

#
21.05.20251.4 Mб0ДиИУ_1_Элементы_теории_устойчивости_Л_01.pdf
#
01.06.20251.02 Mб1ДиИУ_1_Элементы_теории_устойчивости_Л_02.pdf
#
01.06.20253.53 Mб1ДиИУ_1_Элементы_теории_устойчивости_Л_03_05.pdf
#
01.06.20251.72 Mб1ДиИУ_2. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка. Л. 06-07.pdf
#
21.05.20251.02 Mб0ДиИУ_2_Элементы_теории_устойчивости_Л_02.pdf
#
01.06.20256.81 Mб1ДиИУ_3_Ряды_Фурье.pdf
#
21.05.20252.27 Mб0ДиИУ_3_Теория_устойчивости_Л_03.pdf
#
01.06.20251.5 Mб0ДиИУ_3а_Ряды и преобразования Фурье_Оконное Фурье преобразование и вейвлет-преобразование(исх).pdf
#
01.06.20251.82 Mб1ДиИУ_3а_Ряды и преобразования Фурье_Оконное Фурье преобразование и вейвлет-преобразование(с пометками на лекции).pdf
#
01.06.20255.19 Mб1ДиИУ_4_Интегральные_операторы_и_интегральные_уравнения.pdf
#
21.05.20253.09 Mб0ДиИУ_4_Теория_устойчивости_Л_04.pdf