Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_3_Ряды_Фурье

∞

( )

∞

( )

( )( ) = (∑ (

( = 1, … , ) .

+

))

= ∑ (

+

)

(1)

=1

=1

Доказательство.

Напомним теорему о почленном дифференцировании функционального ряда

∑∞

( ) :

=1

Если а)

( ) – непрерывно дифференцируемы на [ , ],

∑∞

б) ряд

( ) сходится на [ , ],

=1

в) ряд

∑∞

′

( ) сходится на [ , ]

=1

Тогда

{∑∞

( )}′=∑∞

′ ( )

=1

=1

Применим эту теорему первый раз к ряду Фурье, проверим выполнение условий теоремы:

а)

( ) =

+

– непрерывно дифференцируема (даже раз) на [− , ];

б) сам ряд Фурье

0

∞

( ) =

+ ∑

+

сходится на [− , ]

2

=1

(даже равномерно по теореме о равномерной сходимости ряда Фурье)

в) ряд из производных:

∞

∞

∑

′

( ) = ∑(−

+

) равномерно сходится на [− , ] по признаку Вейершрасса, т. к.

=1

=1

| ′

( )| ≤ |−

+

| ≤ (|

| + |

|)

,

∞

∞

∑(|

| + | |)

сходится по 2 − ой части предыдущей теоремы. Там доказано, что ряды вида ∑

(|

| + | |)

=1

=1

сходятся для = 1,2, … , . А в данном случае = 1.

Значит верна формула (1) при = 1:

∞

′

∞

′

(∑ (

+

))

= ∑

(

+

) [− , ].

=1

=1

Далее, такие же рассуждения можно провести и для ряда

∞

′

∑ (

+

) :

=1

условия а) и б) легко проверяются, а условие в) следует по признаку Вейерштрасса из сходимости ряда

∞

2

∑(|

| + |

|)

( = 2).

(

)

( ) =

0

+ ∑

+

,

=

1

∫ ( ) ,

=

1

∫ ( )

,

=

1

∫ ( )

.

2

0

=1

−

−

−

где функция ( ), назыется ядро Дирихле, и имеет вид:

1

( +

2)

( ) =

.

(1)

2

2

Доказательство. Преобразуем выражение для

( ):

1

а)

( ) =

+ ∑

непрерывна для всех ;

2

=1

б)

( ) периодична с периодом 2

в)

г)

( ) четная функция.

−

∫

( ) = ∫ ( ),

( = − ).

− −

−

Тогда из формулы (*) с учетом периодичности функции ( + )

( ) имеем:

lim ∫ ( ) =

lim ∫ ( ) = 0.

→∞

→∞

В частности:

lim ∫ ( )

=

lim ∫ ( )

= 0.

→∞

→∞