Теорема 6.6 (адаптивный обход интегратора с использованием функций настройки).

Пусть дополнительно выполняются допущения

а) вектор является вектором постоянных параметров;

б) ;

в) функция является локально липшицевой по равномерно по ;

Рассмотрим закон управления

(2.1)

и алгоритм адаптации

(2.2)

где и – постоянные коэффициенты, первая функция стабилизации имеет вид

(2.3)

первая функция настройки имеет вид

(2.4)

а производная в (2.1) заменяется её аналитическим выражением из (2.2). Тогда в замкнутой системе (1.1), (1.2), (2.1) и (2.2) при любых и произвольных начальных условиях все сигналы являются ограниченными и, кроме того, и при .

Допущение 6.1. Существуют непрерывно дифференцируемая функция , определяющая закон управления в форме обратной связи по состоянию

(2.5)

и гладкая функция (функция Ляпунова) такие, что

	(2.6)
	(2.7)
	(2.8)

где и – некоторые положительные константы.

Пример 6.2. Рассмотрим параметрически неопределенную систему:

(2.9) (2.10) (2.11)

где и – дополнительные переменные состояния, – постоянный вектор неизвестных параметров, а функции и являются локально липшицевыми по равномерно по . Пусть выполнено допущение 6.1, а цель управления состоит в стабилизации системы (2.9) – (2.11) и обеспечении асимптотического стремления к нулевому значению.

Первые два шага процедуры синтеза были представлены при доказательстве теоремы 6.6. В частности, первая функция стабилизации и первая функция настройки были определены выражениями (2.3) и (2.4) соответственно. Однако, поскольку в системе (2.9) – (2.11) сигнал управления появляется только в третьем уравнении, выражение (2.1) будет теперь рассматриваться как вторая функция стабилизации (а не как действительное управление). Таким образом,

(2.12)

где функция , представленная вместо и определяемая выражением (2.2), рассматривается как вторая функция настройки (а не как действительный алгоритм адаптации). Следовательно,

(2.13)

Рассмотрим третий шаг процедуры синтеза.

Шаг 3. Выражение (2.12) было получено в предположении, что является сигналом управления в (2.10). Поэтому введем в рассмотрение новую регулируемую переменную , являющуюся разностью между желаемым и действительным значением переменной

(2.14)

Тогда в координатах (2.4) и (2.14) и с учетом (2.13) – (2.12) система (2.9) – (2.11) принимает вид

(2.15) (2.16) (2.17)

Уравнения (2.15) – (2.17) позволяют определить действительный закон управления и действительный алгоритм адаптации. Структура этих алгоритмов обосновывается с помощью функции Ляпунова вида

(2.18)

Ее производная в силу (2.15) – (2.17) удовлетворяет неравенству

(2.19)

Опять, как и при доказательстве теоремы 6.6, нетрудно убедиться, что выражение в скобках при может быть обнулено с использованием алгоритма адаптации вида

(2.20)

С учетом (2.20) можно записать

Теперь цель синтеза закона управления и может быть сформулирована в виде требования, чтобы третье слагаемое в последнем выражении (заключенное в квадратные скобки и имеющее в качестве сомножителя) стало равным . Нетрудно убедиться, что этой цели можно достичь при

(2.21)

По сравнению с (2.1) новизна закона управления (2.21), полученного на третьем шаге итеративной процедуры синтеза, состоит в наличии добавочного члена

(2.22)

В результате включения данного слагаемого в закон управления, на третьем шаге удается парировать влияние разности между второй функцией стабилизации и действительным алгоритмом адаптации (см. последнее слагаемое в уравнении (2.16)).

Подставляя (2.21) в (2.17) с учетом (2.20), получаем следующую модель замкнутой системы адаптивного управления:

	(2.23)
	(2.24)
	(2.25)
	(2.26)

где

Благодаря специальной структуре данной модели (что достигается с помощью добавочного члена (2.22)), свойства ее устойчивости могут быть легко доказаны с использованием функции Ляпунова вида (2.18). Производная по времени данной функции на решениях системы (2.23)–(2.26) удовлетворяет неравенству

(2.27)

Далее с использованием стандартных аргументов можно показать, что и при .