1.1. Алгоритмы скоростного градиента для локального целевого функционала

Пусть ЦУ (1.2) задана при помощи локального целевого функционала . Для построения алгоритма управления (1.3) вычислим скалярную функцию – скорость изменения в силу уравнения объекта (1.1):

Затем найдем градиент по входным переменным

Наконец, зададим алгоритм изменения дифференциальным уравнением

(1.9)

где – симметрическая положительно определенная матрица. Алгоритм (1.9) естественно назвать алгоритмом скоростного градиента (АСГ), поскольку в нем изменение происходит пропорционально градиенту скорости изменения . Интегрируя (1.9) на промежутке [0, t], можно записать АСГ в форме (1.3) с интегральным оператором .

В качестве примера выпишем АСГ для задачи регулирования линейного по входам объекта управления (1.7) при целевой функции

(1.10)

где ; – задающее воздействие (желаемая траектория выхода), – гладкая вектор-функция, – l×l-матрица. Скорость изменения будет равна

(1.11)

где , а скоростной градиент и АСГ примут вид соответственно

	(1.12)
	(1.13)

1.2 Алгоритмы скоростного градиента для интегрального целевого функционала

Если целевой функционал интегральный, т. е.

то скорость его изменения независимо от вида уравнения объекта равна . Поэтому АСГ имеет вид

(1.14)

где . Алгоритм (1.14) по структуре совпадает с алгоритмом наискорейшего спуска для функции . Алгоритм (1.14) нетривиален, только если явно зависит от управления. В противном случае (т. е., если ), следует применить алгоритм (1.9) для локального функционала .

1.3. Алгоритмы скоростного псевдоградиента

Алгоритм управления (1.3) может конкретизоваться не только в дифференциальной, но и в конечной форме. АСГ в конечной форме имеет вид

(1.15)

где – некоторое начальное (опорное) значение управления.

Введем более общую структуру

(1.16)

где – скалярный множитель шага (коэффициент усиления), а вектор-функция удовлетворяет условию псевдоградиентности

(1.17)

и назовем (1.16) алгоритмом скоростного псевдоградиента. Запись (1.16) является уравнением относительно .

Очевидно, частным случаем (1.16) является алгоритм (1.15), поскольку удовлетворяет (1.17). Однако (1.16) включает и другие структуры, например знаковый алгоритм

(1.18)

где знак вектора понимается покомпонентно.

В качестве примера выпишем алгоритм скоростного градиента в конечной форме для линейного объекта (1.4) и квадратичной целевой функции при , . Считая , получим алгоритм (1.15) в виде , представляющим собой классический пропорциональный закон регулирования. Алгоритм (1.18) принимает вид , т. е. задает релейный закон регулирования. Выпишем алгоритм (1.18) для задачи (1.7), (1.13) с квадратичной целевой функцией и аффинным по входу объектом управления:

(1.19)