3. Метод функций Ляпунова

Одним из наиболее распространенных средств анализа и синтеза сложных систем управления является второй (или прямой) метод Ляпунова.

Рассматриваются динамические системы вида (1.1), определенные на открытом множестве , где , , а также стационарные системы (1.3), определенные на множестве . Пусть правые части систем таковы, что удовлетворяются условия существования и единственности решений, а сами решения (1.2) определены на полубесконечном интервале времени . Пусть выделено некоторое решение системы (1.1) – так называемое невозмущенное решение. Замена переменных приводит систему (1.1) к виду , где

(3.19)

В качестве функций Ляпунова рассматриваются непрерывно дифференцируемые скалярные функции или , которые в некоторой окрестности положения равновесия являются положительно определенными.

Достаточные условия устойчивости по Ляпунову положения равновесия системы (1.1) определяются следующей теоремой, доказанной А.М. Ляпуновым.

Теорема 3.1 (1-я теорема Ляпунова). Равновесное состояние системы (1.1) устойчиво, если в некоторой окрестности точки существует функция Ляпунова , производная которой является неположительной функцией, т. е. в указанной окрестности и для любых t E Т выполняется неравенство выполняется неравенство

(3.20)

Теорема 3.2. Равновесное состояние системы (1.1) равномерно устойчиво, если в некоторой окрестности точки существует функция Ляпунова такая, что

(3.21)

равномерно по и

(3.22)

Равновесное состояние системы (1.3) асимптотически устойчиво, если в некоторой окрестности точки существует функция Ляпунова , такая, что ее производная является отрицательно определенной функцией, т. е.

при ,

(3.23)

Теорема 3.3 (2-я теорема Ляпунова). Равновесное состояние системы (1.1) асимптотически устойчиво, если в некоторой окрестности точки существует функция Ляпунова такая, что

(3.24)

а её производная является отрицательно определенной, т. е.

(3.25)

где , , – положительно определенные функции.

Поскольку глобально устойчивая система может обладать лишь одним состоянием равновесия, то в формулировках (если это не вызывает недоразумений) его иногда не указывают. Для стационарных систем основные результаты получены Е.А. Барбашиным и Н.Н. Красовским.

Теорема 3.4.а (теорема Барбашина-Красовского). Пусть . Система (1.3) глобально асимптотически устойчива в точке , если существует функция Ляпунова , определенная на всем множестве такая, что

1) для всех

(3.26)

где – -функция;

2) при ,

В сложных случаях можно использовать более общий вариант этой теоремы.

Теорема 3.4.б (теорема Барбашина-Красовского). Пусть . Система (1.3) глобально асимптотически устойчива в точке , если существует функция Ляпунова , определенная на все множестве , такая, что

1) для всех

(3.27)

2) , а множество не содержит целых траекторий системы (1.3) за исключением .

Следующая теорема касается свойств нелинейных систем общего вида (1.1).

Теорема 3.5. Пусть . Система (1.1) глобально равномерно асимптотически устойчива в точке , если существует функция Ляпунова , определенная на всем множестве , , такая, что

1) для всех и

(3.28)

2) .

Теорема 3.5 (Н.Н. Красовский). Пусть . Система (1.1) с непрерывно дифференцируемой правой частью (т. е. ) глобально экспоненциально устойчива в точке тогда и только тогда, когда существует функция Ляпунова , удовлетворяющая условиям

	(3.29)
	(3.30)
	(3.31)

где – положительные константы.