2. Равновесные состояния и устойчивость

Рассматривается поведение динамической системы (1.1), определенной на открытом множестве (где , ) относительно состояний равновесия системы.

Точка называется равновесным состоянием (положением равновесия) системы (1.1), если для любого и всех выполняется условие .

Необходимым и достаточным условием равновесия системы в точке является выполнение равенства для всех .

Равновесное состояние (система (1.1) в точке ) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и найдется , такое, что для всех начальных значений , удовлетворяющих условию

(2.7)

выполняется неравенство

для всех .

(2.8)

Следующее понятие связано с асимптотическими свойствами решений при и сходимостью траекторий системы к устойчивому положению равновесия.

Равновесное состояние (система (1.1) в точке ) называется асимптотически устойчивым, если оно является устойчивым по Ляпунову и притягивающим, т. е. для любого существует окрестность , называемая областью притяжения такая, что для всех начальных значений выполняется условие притяжения (аттрактивности)

(2.9)

Свойство притяжения (или аттрактивности) состояния (точки притяжения), означает, что существует , и для любых , , и для всех начальных значений , удовлетворяющих условию

(2.10)

найдется такое, что

для всех .

(2.11)

Для анализа аттрактивности пользуются следующим утверждением.

Лемма 2.1 (лемма Барбалата). Пусть – некоторая скалярная функция. Если

1) равномерно непрерывна (для найдется : для всех , , удовлетворяющих условию , выполняется ) при ,

2) существует конечный предел

(2.12)

то

(2.13)

Теорема 2.1. Равновесное состояние системы (1.1) асимптотически устойчиво, если оно является равномерно притягивающим, т. е. существует область равномерного притяжения такая, что для всех начальных значений условие аттрактивности (2.3) выполняется равномерно (в неравенстве (2.5) число можно выбрать независимо от и ) по и .

Первый метод Ляпунова предусматривает исследование линеари-зованной модели. Для её получения вводится в рассмотрение n-мерный вектор

(2.14)

характеризующий отклонение текущего состояния от положения равновесия . Полагается, что функция в точке гладкая

(2.15)

где матрица частных производных называется матрицей Якоби нелинейной системы, а вектор-функция представляет остаточный член разложения и удовлетворяет условию

(2.16)

Теорема 2.2 (первый метод Ляпунова). Пусть – достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию (2.10). Равновесное состояние системы (1.3) асимптотически устойчиво, если матрица Якоби системы гурвицева, т. е.

(2.17)

где – собственные числа матрицы .

Важной особенностью нелинейных систем общего вида (1.1) является зависимость их поведения от начальных значений и . Если характеристики системы при вариации начальных значений не изменяются, то соответствующее свойство устойчивости называется равномерным.

Равновесное состояние называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову и отображение , где , равномерно непрерывно на множестве .

Равновесное состояние называется равномерно асимптотически устойчивым в области , если оно равномерно устойчиво по Ляпунову и на множестве является равномерно притягивающим по , т. е. для всех предельное соотношение (2.3) выполняется равномерно по и (или в неравенстве (2.5) число не зависит от и ).

Равновесное состояние называется экспоненциально устойчивым, если существует окрестность (область притяжения) такая, что для всех , и для всех выполняется

(2.18)

где .

Пусть , система (1.1) является полной в и имеет единственное равновесное состояние .

Система называется глобально асимптотически устойчивой, если равновесное состояние является устойчивым по Ляпунову и глобально притягивающим, т. е. .

Система называется равномерно глобально асимптотически устойчивой, если равновесное состояние равномерно устойчиво по Ляпунову и является равномерно глобально притягивающим, т. е. и предельное соотношение (2.3) выполняется равномерно по и .

Система называется глобально экспоненциально устойчивой, если для всех начальных значений и выполняется неравенство (2.12).