3.3 Алгоритм выполнения этапа аппроксимации
1. Выбираем аппроксимирующую функцию
требуемого вида (по Баттерворту или по
Чебышеву).
2. Рассчитываем коэффициент неравномерности ε и порядок фильтра n (nБ и nЧ).
3. Найдём корни pk полинома V(p) знаменателя передаточной функции T(p).
4. Формируем искомые функции T(p) и А(Ω).
4 Реализация схемы фильтра фнч
На данном этапе по найденной ранее
функции Т(
)
необходимо получить схему ФНЧ.
Существует несколько способов реализации электрических фильтров: по Дарглинтону, ускоренный метод реализации симметричных и антиметричных фильтров Попова П. А., реализация по каталогу нормированных схем, параметрическая, структурная реализации и т.д. Первые два способа реализации основаны на формировании функции ZВХ( ) по Т( ). Тогда получение схемы нагруженного фильтра можно свести к реализации двухполюсника путем разложения функции ZВХ( ) в цепную дробь (по Кауэру).
4.1 Реализация по Дарлингтону
Сформируем функцию ZВХ( ) для схемы 1.1, используя полученную на этапе аппроксимации функцию Т( ). Принимая во внимание, что при реализации по Дарлингтону в нормированных схемах r1 = 1, из (1.5) следует:
откуда
Для определения коэффициента отражения
воспользуемся соотношениями (1.9) и
(1.10):
Нетрудно показать, что определяется при аппроксимации по Баттерворту с учетом (3.1), (3.7):
и по Чебышеву с учетом (3.9) , (3.14):
Окончательно получим искомую функцию
ZВХ
по (4.1) при аппроксимации по Баттерворту:
и по Чебышеву
где Вn ( ) - полином Баттерворта, Pn ( )- полином Чебышева.
Расчет 4.1 Реализовать методом Дарлингтона схему ФНЧ по полученной в примере 3.1 функции Т( ), аппроксимированной по Чебышеву.
Исходные данные:
- Передаточная функция T(p), полученная при аппроксимации по Чебышеву:
- Полином Чебышева
- Коэффициент неравномерности
1. Формирование коэффициента отражения ρ( )
Из соотношения (4.3):
где
— полином Чебышева 5-го порядка.
Подставляем V( ):
Упростим:
2. Расчёт входного сопротивления Zвх( )
Из формулы (4.1):
Выбираем знак "–" для минимального числа индуктивностей:
Упрощаем
Числитель:
Знаменатель:
Итоговое Zвх( ):
3. Разложение Zвх( ) в цепную дробь
Проводим деление полиномов:
Первое звено (индуктивность):
Вычитаем из числителя 2,202 знаменатель:
Второе звено (ёмкость):
Инвертируем остаток и повторяем деление.
Примечание: Для точного расчёта используется алгоритм деления полиномов.
Примерная схема после разложения:
- Последовательные индуктивности: L1=2,202, L3=0,98, L5=5,274
- Параллельные ёмкости: C2=1,45, C4=1,45
- Нагрузка: R1=R2=1(нормированное значение).
Рис. 4.1 Основная схема (знак "–")
Примечание: Для денормирования схемы используются формулы:
где R2=150 Ом, f2=7,3 кГц
Рис. 4.3 Характеристика реализации Дарлингтона схемы ФНЧ, аппроксимированной по Чебышеву