Лекции / DIU_28_04_05_05_12_05_14_05_2021

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

ственной функции оператора

. По теореме

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2025

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

	n
ˆ	0	1		x, k k

Kx t
	k 1		k

где

CL2

x t

G )

ˆ ,

KerK

n
0

(если

, то ряды сходятся в

6) Получим одно усиление теоремы Гильберта–Шмидта для ин-

тегрального оператора ˆ

Определение. Функция f называется истокообразно представи-

мой через ядро K t, , если		h CL	2	G :
			2
f t		K t, h d .

	G

Теорема (Гильберта). Если f истокообразно представима через

эрмитово симметричное, непрерывное	ядро	K t, ,	то ее		ряд
Фурье по максимальной ОНС собственных функций оператора					ˆ
Фурье по максимальной ОНС собственных функций оператора					K
сходится к f абсолютно и равномерно на G .

Доказательство. Пусть k k 1 –	максимальная		ОНС	соб-

, отвечающая характеристическим Гильберта–Шмидта получаем, что

h CL2 G

0
0
h t h	t
		k 1

h,	k		k

h	ˆ
h	KerK
0

h, k

k t ,

(*)

Kh t f

k 1

где ряд в (*) сходится к f в

G . Докажем, что на самом деле

сходимость ряда (*) равномерная на G (и абсолютная). Так как

k t

K t, k d

– коэффициент Фурье функции

K t,

по ОНС k k 1

то со-

гласно неравенству Бесселя

k t

2 d ,

K t,

t G ,

k 1

и тогда:

h, k

k n 1

K t,

d .

k n 1

Следовательно:

lim sup

h, k

sup

K t,

n t G

k n 1

t G

h, k

lim

k n 1

т.е. ряд (*) сходится абсолютно и равномерно на

G .

4. Положительно определенные операторы

Определение 1. Оператор					ˆ
Определение 1. Оператор					A в евклидовом пространстве E назы-
вается положительно определенным если							x E Ax, x 0 ,
неотрицательно определенным если						x E Ax, x 0 .
Определение 2. Ядро K t, K						t, интегрального операто-

ˆ ˆ							ˆ	ˆ
ра K K	называется положительно определенным, если K							K –
положительно определенный оператор в CL2 G .
Теорема 1. Пусть E – евклидово пространства над полем ком-
плексных	чисел.		Тогда оператор			ˆ	самосопряжен в	E
плексных	чисел.		Тогда оператор			A	самосопряжен в	E
x E	ˆ
x E	Ax, x R .
Доказательство. 1)				Если	ˆ
Доказательство. 1)				Если	A самосопряжен в E, то x E
					ˆ
ˆ	ˆ		ˆ		ˆ
Ax, x x, Ax		Ax, x			Ax, x R .

2) Обратно, если z E				ˆ	R ,	то, учитывая очевидные
2) Обратно, если z E				Az, z	R ,	то, учитывая очевидные
соотношения
ˆ			ˆ	ˆ		ˆ	ˆ
( A(x iy), x iy) ( Ax, x)				( A(iy),iy) ( Ax,iy) ( A(iy), x)
	ˆ	ˆ	ˆ		ˆ
	( Ax, x) ii ( Ay, y) i ( Ax, y) i( Ay, x)
	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
	( Ax, x) ( Ay, y) i( Ax, y) i( Ay, x)
	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
	( Ax, x) ( Ay, y) i[( Ay, x) ( Ax, y)];
и
ˆ			ˆ	ˆ	ˆ		ˆ
( A(x y), x y) ( Ax, x) ( Ay, y) ( Ax, y) ( Ay, x);

имеем:

Re[( Ay, x) ( Ax, y)] Re

[(( A(x iy), x iy) ( Ax, x) ( Ay, y)]

т.е. Re Ay, x Re Ax, y .

Ay, x

Ax, y

A x y , x y

Ax, x

Ay, y

т.е. Im Ay, x Im Ax, y .

Отсюда:	x,	y E	ˆ			ˆ		ˆ
Отсюда:	x,	y E	Ay,	x Re Ay, x i Im				Ay, x
ˆ	ˆ		ˆ		ˆ	ˆ
Re Ax, y i Im Ax, y y, Ax , т.е.						*
Re Ax, y i Im Ax, y y, Ax , т.е.					A A .
Теорема доказана.
Теорема 2. Если непрерывное ядро					K t, K t,			положи-
тельно определено, то
1) оно эрмитово симметрично, т.е.				K t, K , t ;
2) K t, t 0 для		t G .
Доказательство.
1) Следует из теоремы 1, так как				ˆ	в этом случае		ˆ	ˆ
1) Следует из теоремы 1, так как				A	в этом случае		K K − са-

мосопряженный оператор.

2) Так как K t, t K t,t , то K t, t R для t G .

Допустим, что t			0	G :

сти	K t,	можно считать,

K t

что

0	, t	0

t		G
	0

0 . Тогда в силу непрерывно-
– т.е. t	0	– внутренняя точка

и что

U		t	0	t :	t t	0	:
			0			0

t, U		t
		0

Re K t, 0 .

Тогда берем Тогда

ˆ Kf , f

G G

f C G : K t, f t

	f
	f

t 0

dt d

U	t	0	и
		0
Re K
	G G

t, f

вне

U	t	0

dt d

	Re K t, f t f dt d 0,
	G G
что противоречит положительной определенности ядра		K
Следовательно,	K t, t 0 для всех t G . Теорема доказана.

Лекция 14.05.21

5. Билинейное разложение эрмитово симметричного ядра.

Лемма 1

(Дини)

Пусть

- ограниченная область, а

таковы, что :

1) n f

C(G) ;

n n 1

x G

монотонны по n ;

(x)

n 1

x G lim

(x)

f (x) C(G).

Тогда

f	n	(x)
	n

сходится равномерно к

f (x)

на G .

Доказательство. Пусть

G1 x G : fn(x) , т.е.

n 1

силу непрерывности f n (x) на

fn(x) fn 1(x), n 1, 2,... . Тогда в

G G1 G1 - замкнутое множество.

Докажем, что f n (x) сходится равномерно к

f (x)

на G1 . Обозна-

чим

	n	(x)
	n

f (x)

f	n	(x) 0
	n

,очевидно

	(x) 0 ,	n	C(G ).
n		n	1

Поло-

жим

sup

(x), очевидно также, что

0 .

x G

Требуется доказать, что

lim

. Допустим, что

lim

Тогда, так как

а) n

G :

sup

(x)

)

x G

б)

- ограничена и замкнута ,

то :

G ,

}

{x }

k 1

n 1

С другой стороны,

т.к.

при

) nk 0 .

, то из следующей

двойной последовательности мы видим:

				n	...			n	...
					2				k
n	(xn	) , n (xn	)	... n (xn		)	...	n		(x0)
1	1	1	2		1	k			1

n	2	(xn ) , n	(xn	) ...	n	(xn	) ...	n	(x0)
	2	1	2	2		2	k		2

........................................................................

) ,

) ...

) ...	n		( x	) ,
	n	k	0
		k

т.е. по строкам

стороны	n	(
	n
	k

	n		(x	n	j
	n			n
		k
x		) 0
0

)	n		(x	)
	n	k	0
		k

. Полученное

0	для любого	n	k	, а с другой
			k

противоречие показывает, что


				0,
lim sup		n	(x)	0,
n x G		n
n x G
	1

т.е.

f	n	(x)
	n

сходится равномерно к f (x) на

G	1

Аналогично доказывается, что	f	n	(x) сходится равномерно к	f (x)
		n
G \ G .
1
Теорема 1. Эрмитово симметричное, непрерывное ядро				K t,

разлагается в билинейный ряд по своим собственным функциям:

на

сходящийся в

(t)

( )

K t,

k 1

CL (G) равномерно по

, что означает

( )

lim sup

K ,

n G

k 1

(G)

(*)

(1)

Доказательство. G

(K( , ), k )L		K(t, ) k (t)dt		K( , t) k	(t)dt =	k	( )
						k
	(G)
2		G	G					k
								k

- ко-

эффициенты Фурье. В силу тов Фурье, получаем:

n		( )			( )	2
n
K ,	k			k
K ,

k 1			k			L	(G)
k 1			k			L	(G)
						2

минимального свойства коэффициен-

		2		n				2			1
	K t,				2			2			1
			dt				( )		,		.

					k	k				k
				k 1	k	k				k		k
G

Дополняя ортонормированную систему функций k (x) до ор-

k 1

тонормированного базиса в CL2(G) элементами из ядра оператора

			2			2
ˆ		K t,	2	2	k ( )	2
K , получим, что	G	K t,		dt k	k ( )		,	где при
		G		k 1

всех добавленных элементах собственные числа 0.

				2	n	k

Это означает,	G		K t,		dt	2

		G			k 1

тогда выполняется следующее:

	( )	2
		2
k
k

n		( )		2
n
	k
			2

k 1			k
k 1			k

f	n	( )
	n

по

;


2)	fn( ) C(G) для n ;
3)	G		n
3)	G	lim	f	( )
		n			G
					G

Используя лемму Дини, получаем, что

равномерно на G	к интегралу		K t,

K t,		2
K t,		dt C(G).
		n		( )		2
		n
сумма			k				сходится
			k
					2
					2
		k 1			k
		k 1			k
2	dt , и тогда справедливо
	dt , и тогда справедливо

	G
			( )			( )
lim sup	K ,	k	( )		k	( )	0.
		k			k

n G	k 1			k		L	(G)
	k 1			k		L	(G)
						2
Теорема 2. ( Мерсера). Если ядро		K t, непрерывно на

G G

, эр-

митово симметрично и положительно определено, то его билинейный ряд по собственным функциям (*) сходится абсолютно и равномерно к

K t, на G G .

Упражнение. Доказать теорему Мерсера.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Лекции

#
21.05.20253.06 Mб04.pdf
#
21.05.20253.21 Mб05.pdf
#
21.05.20252.57 Mб06.pdf
#
21.05.2025860.1 Кб0BKKT_08_Teoria_ustoychivosti.pdf
#
21.05.20251.25 Mб0BKKT_09_Pervye_integraly_sistem_ODU.pdf
#
21.05.20251.21 Mб0DIU_28_04_05_05_12_05_14_05_2021.pdf
#
21.05.2025323.97 Кб0DIU_Voprosy_k_ekzamenu.pdf
#
04.06.2025442.32 Кб0Вопросы.jpg