Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

Лекции / DIU_28_04_05_05_12_05_14_05_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2025

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

i :

1	i

, т.е.

		1
		i
		i

. Пусть выбран наименьший из

таких номеров. Тогда если

– собственное значение A кратно-

сти s , т.е.

i 1

...

i s 1

, а

e ,

,...,

– соответству-

i 1

i s 1

ющие собственные векторы, то из (2) следует, что при n i , i 1 , i 2 ,…, i s 1 эти уравнения разрешимы тогда и только тогда, когда выполнены равенства: f , en 0 для n i , i 1 ,…, i s 1.

Это означает, что правая часть ортогональна всем решениям (1 ) с

. При выполнении этого условия получаем, что

C ,

C ,...,

i 1

i s 1

– произвольные числа, а решение (1) имеет вид:

k f , ek

x f

C1ei

... C ei s 1

(4)

k 1

k i,...,i s 1

Замечание. Полученные формулы (3) и (4) называются форму-

лами Шмидта. Попутно мы доказали теоремы Фредгольма в рас-

сматриваемом случае.

Интегральные операторы в CL	2	G
	2

В этом параграфе в евклидовом пространстве:

где

CL
	2
G R		n
G R
ˆ	:
и K	:



G x t :	x C


– ограниченная
ˆ
Kx t

						1
G ,				x t	2	2
	x				2	dt
	x	L				dt
		2
			G
область,		рассматриваются

K t, x d ,


	,
	,

операторы

(1)

					G
					ˆ	K t,
					K x t	t
					G	t
					G
где,	как и раньше,				K t, C G G ,
ли,	что	ˆ	ˆ	: C G C		G , а
ли,	что	K K		: C G C		G , а

CL	G CL		G . Отметим,			что CL
2		2					2

пространство.

x d

тем

G –

,			(2)
n . Ранее мы доказа-
более и	ˆ	ˆ		:
	K K

не полное евклидово

1. Самосопряженность интегральных операторов

Утверждение 1. Оператор	ˆ *	ˆ *
Утверждение 1. Оператор	K	K существует и являет-

ся

K

интегральным

оператором

ядром

K , t

Доказательство. x, y CL2 G

y t dt

K t, x d

Kx, y

G G

ˆ *

y t dt

K t, y d d

x, K

K , t

где	ˆ *	x t					K t, y d
где	K	x t					K t, y d
					G
Таким	образом,			K	*	t, K , t .
Таким	образом,			K		t, K , t .
	ˆ		.
оператора K			.

	K	*	t, y d .


G

Аналогично доказываем для

Следствие. Оператор

том случае, если	K t,
метрично.

K K
ˆ	ˆ

K ,t

самосопряжен в том и только в

, т.е. ядро K t, эрмитово сим-

2. Полная непрерывность интегральных операторов

Теорема. Операторы

операторами в CL	2	G .
	2

ˆ K

и	ˆ	являются вполне непрерывными
	K

Доказательство. Так как

C G

n 1

t x

dt x

то всякое множество, относительно компактное в

C G , тем более

относительно компактно в CL G

Таким образом, достаточно

показать,

что

множе-

K переводит всякое ограниченное в CL2 G

ство в множество относительно компактное в C G .

Пусть

B CL

G такое, что M 0 :

x B

M .

Обозначим L sup

K t, . Тогда

x B

t, G

K t,

d L x 1d

Kx t

L G x L ML G ,

x B

а тогда и

Kx C ML G

т.е.

KB –

равномерно огра-

ниченное в C G

множество.

K t , K t

, x d

Kx t

K t , K t

В силу равномерной непрерывности

K t,

на

G G

получаем:

0 0 :

t ,

, t

, G G :

K t

, K t

Но тогда для таких

sup Kx t	Kx t
ˆ	ˆ
1		2
x B

т.е.

ˆ KB

равностепенно непрерывно. Следовательно, множество					ˆ
равностепенно непрерывно. Следовательно, множество					KB
сительно компактно в			C G , а тогда и в CL G . Поэтому
			2
тор	ˆ	G CL	G – вполне непрерывный оператор.
тор	K : CL	G CL	G – вполне непрерывный оператор.
	2	2
			ˆ
	Упражнение. Доказать теорему для оператора K

				.

отноопера-

Лекция 12.05.21

Ряды Фурье по ортогональным системам в евклидовых пространствах

1. Основные определения

Определение 1. Система элементов f

X называется ли-

нейно независимой в X, если f

, f

,...,

равенство

С f

...

возможно

тогда

только тогда, когда

...

0 .

Определение 2. Система элементов f

называется

1) всюду плотной в X, если

( 0, f

X ) f

f ;

2) линейно

плотной

X, если

X ,

,...,

;

C ,

..., C

(т.е. в X всюду плотная оболочка,

k 1

натянутая на f

ли

Определение 3. Ряд

называется сходящимся в X к f, ес-

k 1

при n . В этом случае f – сумма ряда.

k 1


Определение 4. Система (не более чем счётная) ek k 1	назы-

вается базисом в X, если

f X f Ck ek k 1

и это представле-

ние единственно.

Определение 5. Система f называется ортогональной в
евклидовом пространстве E, если 1, 2	f , f		0 при
	1	2
15

2 и ортонормированной, если

f ,

. Обозначе-

ния ОС и ОНС.

Определение 6. Базис

в E называется ортонормирован-

k 1

ным базисом (ОНБ), если

– базис и ОНС.

k 1

Определение 7. Пусть

– ОНС в E. Для

положим

f , e

поставим

соответствие

элементу

f E

f , e

k 1

Тогда

– это ряд Фурье функции f по ОНС e

f , e

– коэф-

фициенты Фурье.

Утверждение (единственность ряда по ОНС). Если

–

k 1

ОНС и f ck ek

, то ck

f , ek , т.е. этот ряд – ряд Фурье функ-

k 1

ции f по ОНС

k 1

Доказательство. Используя единственность скалярного произ-

ведения, получаем

ck , ek

f , em

, em

ek , em cm .

k 1

2. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя

Теорема 1 (минимальное свойство коэффициентов Фурье).

Если e

– ОНС в E,

f E, то

k 1

min

k 1

где

f , e

, а минимум слева берется по всевозможным набо-

рам ,...,

Доказательство. Распишем квадрат нормы:

k ek

k ek , f

k ek

k 1

f , ek k

f , ek

k 1

k k k k

k 1

так как

Отсюда:

inf

k 1

и инфимум достигается при

f , e

Следствие (неравенство Бесселя).

f , ek

Если ek k 1

– ОНС в E, то

f E

k 1



	k
k	k

2		f

	k

2	.

k	.

(*)


Замечание. Если ek k 1	– такая ОНС, что	f E

f , ek 2 f 2 , то это называют равенством Парсеваля.

k 1

3. Критерий базисности ОНС в E.


Теорема 2. Если ek k 1	– ОНС в E, то следующие условия

равносильны:

1)	e		– ОНБ в
		k 1
	k
2)	f E			f	2

	f , ek	2	,
	f , ek		,

k 1

т.е. справедливо равенство

Парсеваля;

3)	e			– линейно плотная в E система;
3)	e	k	k 1	– линейно плотная в E система;
		k	k 1
4)	f		E :		f , e	0 для всех k 1, 2,...	f	.
					k

Доказательство. Проведём по схеме: 1) 2) 3) 4) 1)


1 2) Если	ek		– ОНБ в E, то	f E f f , ek ek
1 2) Если	ek	k 1	– ОНБ в E, то	f E f f , ek ek
		k 1
				k 1

а тогда:

f 2

f , ek ek ,

f , em em

k 1

m 1

f , ek

f , em em

f , ek 2 .

k 1

m 1

k 1

2 3) Пусть

f , e

. Тогда

0 ,

c e

k 1

k n 1

так как ряд

сходится. Таким образом, в E линейно плотна

k 1

система ek k 1 .

3 4) По условию: 0,

,..., c

; e

,..., e

p 1

Пусть N kn ,

дополним ck

,..., ck

до c1,..., cN

нулями и полу-

чим:

f ck ek

k 1

Но тогда по минимальному свойству коэффициентов Фурье и подавно

Отсюда,

4 1)

если

f	.
	Пусть

fk f E

N
	f , ek
k 1
f , e	k	0	,
	k

– любой

k	.
k
	то

элемент.

0				f

Положим

т.е.


	f , e	k	e	k
		k		k
k 1

произведения,

f , e	f ,
m

. Тогда, используя счетную аддитивность скалярного

имеем:

m g, e

f , e

, e

k 1

0 .

Отсюда по условию

g , т.е.

f , e

. Так как

ОНС, то это разложение един-

k 1

ственно. Следовательно e

– ОНБ.

k 1

Замечание.

Если

– ОС, но не нормированная,

то

k 1

– ОНС и следовательно ряд Фурье функции

f E

по

k 1

f , k k .

ОС

k k 1 имеет вид:

k 1

3. Свойства вполне непрерывного, самосопряженного в

CL	2	G интегрального оператора
	2

В качестве следствий полученных ранее результатов сформули-

	ˆ	и	ˆ		в		случае, когда
руем следствие свойства операторов K		и	K		в		случае, когда

K t, K , t C G G .
Утверждение. Если	K t, K , t C G G					,	то для инте-
ˆ	(и аналогично для	ˆ		)	справедливы сле-
грального оператора K	(и аналогично для	K		)	справедливы сле-

дующие утверждения:
ˆ

1) Оператор K имеет по крайней мере одно собственное значение , удовлетворяющее равенству:

sup
x	L	1	G G
	2

K t, x x t dt d

Это собственное значение является наибольшим по модулю среди

всех собственных значений оператора			ˆ
		K .
2) Собственные числа оператора		ˆ	действительны. Собствен-
	K

ные функции, отвечающие различным собственным числам ортогональны.

3) Если

0 – собственное значение, то

называется

Тогда каждое характеристиче-

характеристическим значением K.

ское число имеет конечную кратность.

4) На любом отрезке

a, b лежит конечное число характеристи-

ческих чисел оператора

имеет бесконечно

K. Если оператор K

много характеристических чисел

, то

при

k .

5) Теорема Гильберта–Шмидта.

Существует ОНС

k 1

состоящая из собственных функций

отвечающих характеристи-

K ,

ческим значениям

, такая, что

k 1

x CL2 G x

x, k k x t ,

k 1

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
21.05.20253.06 Mб04.pdf
#
21.05.20253.21 Mб05.pdf
#
21.05.20252.57 Mб06.pdf
#
21.05.2025860.1 Кб0BKKT_08_Teoria_ustoychivosti.pdf
#
21.05.20251.25 Mб0BKKT_09_Pervye_integraly_sistem_ODU.pdf
#
21.05.20251.21 Mб0DIU_28_04_05_05_12_05_14_05_2021.pdf
#
21.05.2025323.97 Кб0DIU_Voprosy_k_ekzamenu.pdf
#
04.06.2025442.32 Кб0Вопросы.jpg