Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

Лекции / DIU_28_04_05_05_12_05_14_05_2021

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2025

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Лекция 28.04.21

1. Самосопряженные операторы

Определение Линейный, ограниченный

называется самосопряженным, если

x, y E

оператор

ˆ Ax, y

ˆ A : E

ˆ Ay

т.е.

ˆ	ˆ *
A A .

ˆ
Теорема 1. Если A – самосопряженный оператор в E,
норму можно подсчитать по формуле:			ˆ		ˆ
норму можно подсчитать по формуле:			A	sup Ax, x .
				x 1
Доказательство. Положим sup				ˆ	, и покажем,
				ˆ
			Ax, x
	x	1

то его

что

а)			и б)	.
Тогда sup			ˆ		ˆ	x	2	ˆ
			ˆ		ˆ		2	ˆ
			Ax, x		sup A			A .
	x	1			x 1

		ˆ
Теперь покажем, что A .
Упражнение 1.	Показать, что
ˆ		ˆ	x y , x
A x y , x y A			x y , x
Упражнение 2.	Показать, что
ˆ		x y	2	x y		2
4 Re Ax, y		x y		x y
					ˆ
Пусть теперь: x E :		x 1	,	y	Ax	.
Пусть теперь: x E :		x 1	,	y	ˆ	.
					ˆ
					Ax

ˆ ,

y 4 Re Ax, y

2	x	2		y	2
		2			2

Тогда	y 1 и для x E получаем
			ˆ		ˆ	1 4 ,
			4 Re Ax, y 4		Ax 2 1	1 4 ,
	ˆ	опр.	ˆ				ˆ
Откуда	ˆ		ˆ	. И получим, что			ˆ
Откуда	A		sup Ax	. И получим, что			A
			x 1

Теорема доказана.

sup	ˆ
sup	Ax,
x 1

Упражнение 3. Показать, что собственные значения, если они есть, самосопряженные оператора A действительны.

Упражнение 4. Собственные векторы, отвечающие различным собственные значениям, ортогональны.

2. Вполне непрерывные самосопряженные операторы в E

Напомним, что оператор ˆ называется вполне непре- A : E E

рывным, если он переводит любое ограниченное в E множество в множество относительно компактное E.

Рассмотрим дополнительные свойства таких операторов.

Определение. Последовательность

бо сходящейся к x E , если h E
Записываем это так: x w lim x .
n	n

x
	n	n 1

h, x			n

E

n

называется сла-

h, x .

Замечание. Если Гильбертово пространство конечномерно (т.е. это – Евклидово пространство), то понятия слабой и сильной сходимости совпадают.

Пример. Для пространства интегрируемых с квадратом функций на интервале [0; 2π] со скалярным произведением

2
( f , g)	f (x)g(x)dx
0
		f				f		(x)
		f	n			f	n	(x)
рассмотрим последовательность функций			n	n 1	,		n
рассмотрим последовательность функций					,

Эта последовательность слабо сходится к нулевой функции

sin( nx)

	(x) 0,	x [0;	2 ]
	2
	sin( nx)g(x)dx
так как интеграл	0	стремится к нулю для любой инте-
так как интеграл		стремится к нулю для любой инте-
грируемой с квадратом функции g(x) на [0; 2π]: (fn ,g) (0; g)=0 ,				не
смотря на то, что число нулей функции fn(x)			увеличивается при n		∞
смотря на то, что число нулей функции fn(x)			увеличивается при n		∞

оно остается конечным при любом n и fn (x) (x) n

Упражнение 5. Доказать, что слабый предел

x
	n	n 1

единст-

венный.

Лемма 1. Всякий вполне непрерывный оператор в E переводит любую слабо сходящуюся, ограниченную последовательность в последовательность, сходящуюся по норме.

Доказательство. Пусть

E :

n 1

w lim x

. Тогда:

h E

, h x

ˆ*

, A h , A h

т.е. и w lim Ax

Покажем,

что

0 .

Допустим

n xn	1 и
, h ,

противное, т.е.

0 :

N n

Оператор A – вполне непрерывный в E. Следовательно, так как по-

следовательность

ограничена,

то

существует

последова-

n 1

тельность

фундаментальная в E. Тогда имеем оценку:

p p 1

, Ax

Получаем

N :

, n

k p

Фиксируем

Тогда

при

Axn

, Axn

Axn

, 0

k p

. Следовательно при достаточно больших

получаем:

k p

Пришли к противоречию. Это и означает, что

0 .

Лемма 2. Если A – вполне непрерывный оператор в E, а после-

E – ограничена и w lim xn x , то

довательность xn n 1

Axn

, xn Ax, x .

Доказательство.

, x

Ax, x

так как

0 по лемма 1, а

Axn

Ax, xn

сходимости

к элементу x.

		ˆ
n	Ax, x		n
n			n
x		0 ,
x		0 ,
		n
x 0 в силу слабой

Лемма 3. Из всякого бесконечного ограниченного множества в E можно выбрать слабо сходящуюся последовательность.

Упражнение 6. Доказать лемму 3.


Упражнение 7.	Показать, что если xn n 1 E			слабо сходится,
то она ограничена.
Упражнение 8. Показать, что ОНС e			E	слабо сходится
Упражнение 8. Показать, что ОНС e		n 1	E	слабо сходится
	n	n 1
к нулевому элементу .
Упражнение	9. Показать, что	если		ˆ	ˆ*	то
Упражнение	9. Показать, что	если		A A ,		то
ˆ
x E Ax, x R .

Теорема 2. У всякого линейного, вполне непрерывного, самосо-

пряженного оператора ˆ в E существует хотя бы одно собственное A

значение : ˆ . Среди всех собственных значений оператора A

ˆ
A это собственное значение является наибольшим по
ˆ	m
Доказательство. Обозначим: M sup Ax, x ,	m
x 1

модулю.

inf	ˆ
inf	Ax,
x 1

Пусть M m (случай M m сводится к рассматриваемому

заменой	ˆ	ˆ
	A A) . Тогда M > 0. Покажем, что M
значение оператора			ˆ	M	ˆ
			A (по теореме 2		A ).

– собственное

Так

как

существует

последовательность

M sup Ax, x , то

x 1

, x

. По лемме 3 следует суще-

n 1

n n 1

ствование

, а по лемме 2 име-

k 1

w lim x

ем:

, xn

, x0

M .

Axn

Ax0, x0 , следовательно,

Ax0

Покажем, что

x0, x0

, x0

x0 xn

, x0

Так

как

, x

при

то

получаем,

что

, т.е.

Предположим,

что

Тогда положим

и полу-

чим

Ay0, y0

Ax0, x0

M ,

что невозможно. Следователь-

но

Получили:

, x

sup Ax, x

x 1

ˆ (см. теорему из предыдущей лекции). M A

Докажем, что x0 – собственный вектор оператора

щий собственному значению ˆ . A

Имеем:

ˆ A

, отвечаю-

	ˆ			x					2				ˆ			x					,	ˆ			x							ˆ			2
	ˆ												ˆ									ˆ										ˆ
	Ax	0					0						Ax	0						0		Ax		0					0			Ax		0
		0					0							0						0				0					0					0
	x				ˆ								ˆ				, x						2	x			, x					ˆ			2		2	0.
					ˆ								ˆ										2									ˆ					2
				0	, Ax			0		Ax					0			0								0		0				Ax	0
				0				0							0			0								0		0					0
Но тогда			ˆ			x0						2	0							ˆ			x0,							где						ˆ
												2

			Ax0																Ax0																A .
	Далее, если 1										– любое собственное значение оператора																												ˆ
	Далее, если 1										– любое собственное значение оператора																												A , x1
– отвечающий 1										собственный вектор с																					x1	1, то:
1	( 1x1, x1)										ˆ						sup						ˆ								ˆ	. Теорема доказана.
1	( 1x1, x1)										Ax1, x1						sup						Ax, x								A	. Теорема доказана.
																		x 1
5

Отметим еще следующие свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного вполне непрерывного опера-

тора

ˆ A

Теорема 3.

1) Любому ненулевому собственному значению самосопря-

женного,

может отвечать лишь

вполне непрерывного оператора A

конечное число линейно независимых собственных векторов.

2) Если

вполне

непрерывный,

самосопряженный

оператор

A имеет бесконечно много собственных значений, то единственной

их предельной точкой является точка = 0.

Доказательство.

Пусть

x ,..., x

,... –

бесконечное множе-

ство собственных векторов

, отвечающих собственному значе-

нию 0.

Допустим, что они линейно независимы. Проводя орто-

гонализацию по Шмидту системы функций xn n 1

получим ОНС

ek k 1 :

ek .

Тогда согласно неравенству Бесселя получаем:

Aek

y E

y, e

Отсюда: y, e

0 при

, т.е.

k 1

w lim e

По лемме 2 имеем:

, e

, т.е. = 0,

что проти-

A ,

воречит условию.

2) Пусть

– отличные от нуля собственные значения

n 1

A ,

записанные с учетом их кратностей (конечных по п. 1), x

–

n 1

соответствующие

ОНС

собственных

векторов.

Тогда

вновь


y E y, xk 2		y 2 . И тогда		y, xk	0
k 1					k
k 1
w lim xk . Тогда:	k	ˆ	, xk	ˆ
w lim xk . Тогда:	k	Axk	, xk	A , 0 , т.е.
k			k

y, , т.е.

k k 0 .

Лекция 05.05.21

1. Теорема Гильберта-Шмидта

	ˆ
Теорема (Гильберта-Шмидта). Пусть A – линейный, самосо-
пряженный вполне непрерывный оператор в E. Тогда в E суще-
ствует ОНС	n
	ek k 1 , n0 , состоящая из собственных векторов
	0
оператора	ˆ
	A , отвечающих ненулевым собственным значениям

k nk0 1 , расположенным в порядке убывания модулей и с учетом их кратностей, такая, что

x E

x ck ek K 1

, где ck x; ek , и

ˆ x KerA

;

		n
	ˆ	0
2)	ˆ		c		e
2)	Ax		c	k	e	k
			k	k		k
		K 1

В случае n

сходимость рядов понимается по норме про-

странства E.

Доказательство.

По

теореме 2

e :

1 .

Ae1 1e1 ,

Рассмотрим множество:

x E : x, e 0

и покажем, что

– линейное подпространство в E инвариантное

для оператора

A .

Линейность множества M

очевидна,

а если x M

, то

x, e1 0 ,

Ax, e1 x, Ae1 1

. Следовательно M1 – инвариантное подпростран-

т.е. и Ax M1

ство оператора ˆ в E.

Рассмотрим сужение ˆ на

	M
	M	1
		1

. Тогда на

	M
	M	1
		1

оператор ˆ так-

же линейный, самосопряженный, вполне непрерывный. Имеем:

ˆ	sup	ˆ
A	sup	Ax, x 1 .
M1
	x M
	1
	x 1
7

По теореме 2

	M
	M	1
		1

ˆ
Ae	2
	2

	e
2	2

, где

	ˆ
2	A
		M
		1

	1

а	e	1
	2

рассмотрим подпространство в E:

x E :

x, e 0,

i 1, 2 .

Очевидно M

– инвариантное в M

для оператора

линей-

ное подпространство. Сужение оператора

также являет-

A на M

ся линейным, самосопряженным, вполне непрерывным оператором

на M

. Положим:

sup

1 .

Ax, x

M 2

x M

x 1

Тогда

по теореме 2

существует

, где

	3

	ˆ
	A
		M
		2

, а

Продолжая

ˆ	e	, где
Ae	e	, где
i	i i

1)	n
	0

В этом случае

этот процесс, на n-ом шаге строим ОНС

i 1

...

. Возможны два случая.

: x M

Ax, x 0 .

sup

Ax, x 0 ,

M n

x M

x 1

т.е. на

а тогда

. Таким

M n

A = – нулевой оператор,

M n

KerA

образом в этом случае существует конечная ОНС

, состо-

K 1

ящая

из собственных

отвечающих ненулевым соб-

векторов A ,

ственным значениям

...

0 .

При этом

k 1

x E

x x, ek x ,

где

x, ek ek .

x KerA ;

Ax k

k 1

			:
		k 1

e	k	, e	j
	k		j

	kj

ˆ	kek	и
Aek

		2	...
1		2

			n		... 0

– ненулевые собственные числа оператора A, зануме-

рованные с учетом кратностей. Так как каждое (ненулевое) собственное значение имеет по теореме 3 конечную кратность, то различных собственных чисел бесконечно много. Тогда по теоре-

ме 3		k	0
		k

ство в E:

при

. Рассмотрим линейное подпростран-

M	M .
	k

k 1

Тогда

n	M		M		;	x M
n	M		M	n	;	x M
				n
т.е. M							ˆ
т.е. M		– инвариантное для A

ˆ	ˆ		x, e
Ax, e	x, Ae	n	x, e
n	n	n	n

линейное подпространство в

;

Имеем:	ˆ
Имеем:	A	M
		M

Таким образом

sup

Ax, x

n 1

x M

x 1

, т.е.

на

, а M

KerA .

Тогда

x E

x x

k 1

x, e	k

e	k

ˆ x KerA

;

ˆ Ax k

k 1

x, e	k	e	k

, где k	0 . Теорема доказана.
	k

Замечания.

n0
1) Построенная ОНС ek k 1	называется максимальной систе-

мой собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным

значениям оператора	ˆ
	A .

2) Если в пространстве

M		ˆ
M		KerA

существует ОНБ ek mk 01 ,

n0	m0
то, дополняя ОНС ek k 1	системой ek k 1	, получим ОНБ во всем
пространстве E.

2. Решение линейных уравнений с самосопряженным, вполне непрерывным оператором

В евклидовом пространстве E рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода с вполне непрерывным, самосопряженным опера-

тором	ˆ
	A :

где C

Пусть

ратора ˆ A

					ˆ			(1)
					x Ax f ,			(1)
, а		f	E		– заданный элемент.
e			n	– максимальная ОНС собственных векторов опе-
e			0	– максимальная ОНС собственных векторов опе-
			0
	k		k 1
, отвечающая собственным значениям							n	, записан-
, отвечающая собственным значениям							0	, записан-
							0
						k	k 1

ным с учетом кратностей в порядке убывания их модулей. По теореме Гильберта-Шмидта получаем:

ˆ x KerA

	ˆ
x E, x KerA
n
0
x x	x, ek ek
k 1

;

n0 ˆ Ax k

k 1

x, e	k	e	k

Теперь уравнение (1) запишется в виде:

n0 k x, ek ek

k 1

Умножая скалярно обе части этого равенства на				e	n	и обозначая
					n
x, e	x	n	, получим, что для того чтобы элемент		x E		был бы
n		n

решением (1) необходимо и достаточно выполнения равенств:

1	n	(x, e	) f , e	,
	n	n	n

n=1,2,...,n	0

n 1, 2,..., n0

(2)

Возможны два случая.

1)	n	1
единственное
(x, e	) f , e
n	n

	n	0 .			Тогда уравнение (1)				имеет и	притом

решение,						удовлетворяющее			соотношениям
/ 1			n	,	n=1,2,...,n		0	. Тогда решение		задаётся

формулой:

n0	k f , ek
x			ek f .	(3)

k 1	1	k

Отметим, что в этом случае однородное уравнение:
	ˆ			(1 )
	x Ax

имеет лишь нулевое решение.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
21.05.20253.06 Mб04.pdf
#
21.05.20253.21 Mб05.pdf
#
21.05.20252.57 Mб06.pdf
#
21.05.2025860.1 Кб0BKKT_08_Teoria_ustoychivosti.pdf
#
21.05.20251.25 Mб0BKKT_09_Pervye_integraly_sistem_ODU.pdf
#
21.05.20251.21 Mб0DIU_28_04_05_05_12_05_14_05_2021.pdf
#
21.05.2025323.97 Кб0DIU_Voprosy_k_ekzamenu.pdf
#
04.06.2025442.32 Кб0Вопросы.jpg