Лекции / BKKT_09_Pervye_integraly_sistem_ODU

dx1

=

dx2

=

dx3

x1x2

x22

x2

x3

+ 1

(9.15)

Если мы воспользуемся первым способом, то будем рассматривать автоном-

ную систему

8 x2

= x22

;

(9.16)

x1

= x1x2;

< x3 = x2 x3 + 1 :

Для системы (9.16) нетрудно получить два

:

независимых первых интеграла.

Действительно, первое соотношение в (9.15) дает

dx

dx

откуда

ln x1

= ln

x2

+ ln C1

x11

= x22 ;

x1

= C1:

x2

Второе соотношение в (9.15) дает

dx2

=

dx3

;

x2

x3 + 1

откуда аналогично получаем еще один первый интеграл

x3 + 1

= C2:

x2

Найденные первые интегралы, очевидно, независимы, поскольку в первый из

них не входит x3, а во второй x1.

Теперь в соответствии с замечанием 9. 3 нетрудно получить и общее реше-

ние системы (9.16). Действительно, из второго уравнения имеем

dx2

= x22

dt

,

dx2

1

следовательно,

= dt,

откуда x2

=

.

t

x22

C3

Таким образом, получаем решение системы (9.16) в виде

C1

1

C2

1:

x1 =

;

x2 =

;

x3 =

C3 t

C3 t

C3 t

Фазовыми же траекториями будут линии

1:

x3

= C2x2

(9.17)

x1

= C1x2

;

8

dx1

=

x1

;

dx2

x2

(9.18)

> dx3

= x3

+ 1

:

<

>

dx2

x2

: