Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_1_Теория_устойчивости_решений_задачи_Коши_Л_03_04_
.pdf
V. |
|
1 |
|
, |
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
1 |
= |
|
2 |
= |
|
= |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Возможны два случая.
Случай V.A. Существует только один собственный вектор, отвечающий = 0.
Общее решение системы (11) имеет вид
|
|
X (t) |
|
|
|
h |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
где собственный вектор |
h |
1 |
|
|
|
|
h |
|
|
2 |
|
точки покоя, лежащие на прямой,
|
x (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
С |
|
|
|
1 |
t h |
2 |
) С |
|
1 |
|
С |
|
|
|
1 |
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
С h |
2 |
(h |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
(21) |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и присоединенный |
h |
2 |
|
|
1 |
|
. |
Положив в (21) |
С |
0 |
, |
имеем как и в предыдущем случае |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
0 |
|
|
проходящей через начало координат параллельно |
|
. Если в (21) |
, то имеем прямые, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельные этому собственному вектору
а при |
С 0 |
в другом. |
2 |
Точки покоя являются неустойчивыми.
h |
1 |
|
|
|
|
.
Из (21) видно, что при
С |
0 |
2 |
|
сдвижение происходит в одном направлении,
Случай V.Б. Существует два линейно независимых собственных вектора, отвечающих собственному числу = 0.
Это означает, что матрица системы – нулевая матрица, и все точки плоскости – точки покоя. Имеем «полный покой».
VI. 1 , 2 .
Поскольку матрица системы имеет действительные коэффициенты, то 1 , 2 являются комплексно-сопряженными:
1 = + и 2 = − . Собственные векторы также являются комплексно сопряженными:
1 |
u1 |
|
v1 |
|
1 |
|
|
u1 |
v1 |
|
|
v1 |
|
0 |
|
|
|||||||
h |
11 |
i 11 |
|
, |
h |
11 |
|
i 11 |
, |
0, |
|
|
11 |
|
|
|
|
||||||
|
u2 |
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
u2 |
|
v2 |
|
|
|
v2 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение системы (11) запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
(u cos |
|
|
|
|
|
|
t |
(u sin t v cos t) |
|
|||||||||||
X С e |
|
t v sin t) С e |
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или в координатном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
t |
|
(С u |
|
С v ) cos t ( С v |
|
С u ) sin t |
|
|||||||||||||
|
e |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
t |
(С u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) sin t |
||||
|
x |
|
|
С v ) cos t ( С v |
С u |
||||||||||||||||||
|
|
e |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
||
(21)
(22)
(22)
Понадобится еще формула
2 x12 x2 |
2 e2 t (С1u1 С2v1 ) cos t ( С1v1 С2u1 ) sin t 2 |
|
e2 t (С1u2 С2v2 ) cos t ( С1v2 С2u2 ) sin t 2 |
(23) |
|
Поведение траекторий рассмотрим для двух случаев = 0 и ≠ 0 .
Случай VI.A. = = 0.
В этом случае из (22) и (23) следует, что |
, x , x |
– периодические функции от t. Значит фазовые траектории для системы (11) |
|
1 |
2 |
||
являются замкнутыми кривыми. Соотношение (22) в этом случае представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений относительно |
cos t, |
sin t |
: |
|
|
x |
(С u |
|
С v ) cos t ( С v |
С u ) sin t |
|||||||||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
x |
(С u |
|
С v |
) cos t ( С v |
|
С u |
) sin t |
||||||
|
2 |
|
|||||||||||
2 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|||
Несложно показать, что определитель системы представим в виде:
С u С v |
С v С u |
|
С |
|
С |
|
|
v |
v |
|||||||
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|||||
|
|
|
||||||||||||||
С u |
|
С v |
С v |
С u |
|
1 |
2 |
|
|
u |
u |
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|||
(24)
Если предположить, что определитель системы (24) равен нулю, тогда и определитель
коллинеарность векторов |
u, v . Поскольку |
v О |
, то |
k |
, k 0 |
: |
u k v |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
h ( |
|||
Следовательно, собственный вектор матрицы А системы (11) можно записать в виде |
||||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v1 u1
k
v |
|
|
2 |
равен нулю, а это значит |
|
u |
||
|
||
1 |
|
i) v.
С другой стороны этот собственный вектор, отвечающий собственному числу = , удовлетворяет системе уравнений
