Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5308 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Интегральные уравнения и вариационное исчисление
Файл:

Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_4_Теория_устойчивости_Л_04

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
21.05.2025
Размер:
3.09 Mб
Скачать
☆

V.

 

1

 

,

 

2

 

 

 

,

 

 

1

=

 

2

=

 

=

0

.

 

 

 

 

 

 

 

Возможны два случая.

Случай V.A. Существует только один собственный вектор, отвечающий = 0.

Общее решение системы (11) имеет вид

 

 

 

x (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

1

 

2

 

1

 

 

 

 

2

1

1

 

 

2

1

X (t)

 

 

 

С

(h

 

t h

 

 

С

 

 

x

(t)

 

С h

 

 

 

) С

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

h

 

h

2

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

и присоединенный h

2

 

1

 

 

 

 

 

 

С

где собственный вектор h

1

 

h

2

. Положив в (21)

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

точки покоя, лежащие на прямой, проходящей через начало координат параллельно

 

h

2

 

 

t

1

 

(21)

 

 

 

 

 

h

2

 

 

 

 

 

 

2

 

0 , имеем как и в предыдущем случае

h

1

С

0

 

. Если в (21)

, то имеем

 

2

 

 

 

 

 

прямые, параллельные этому собственному вектору

направлении, а при

С

0

в другом.

2

 

Точки покоя являются неустойчивыми.

h1

. Из (21) видно, что при

С

0

2

 

сдвижение происходит в одном

Случай V.Б. Существует два линейно независимых собственных вектора, отвечающих собственному числу = 0.

 

 

 

 

 

 

Это означает, что матрица системы – нулевая матрица, и все точки плоскости – точки покоя,

x

0,

x

0

.

1

 

2

 

Имеем «полный покой».

VI. 1 , 2 .

Поскольку матрица системы имеет действительные коэффициенты, то 1 , 2 являются комплексно-сопряженными:

1 = + и 2 = − . Собственные векторы также являются комплексно сопряженными:

 

u

 

 

v

 

 

u

 

 

v

 

 

v

 

0

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

i

1

,

1

 

1

 

i

1

,

 

 

1

 

 

 

 

h

u

1

 

1

h

u

1

 

1

0,

 

1

 

0

 

 

 

2

 

 

v

 

 

 

2

 

 

v

 

 

 

v

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

Общее решение системы (11) запишется в виде:

(21)

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

t

(u sin t v cos t)

 

X С e

 

(u cos t v sin t) С e

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или в координатном виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

t

 

(С u

 

С

v ) cos t ( С v

С u ) sin t

 

e

 

 

1

 

 

1

1

2

 

1

 

1 1

 

2

1

 

 

 

 

t

(С u

 

С v

) cos t ( С v

С

 

) sin t

x

 

 

u

 

e

2

 

2

 

 

 

1

 

2

2

 

1

2

2

2

 

 

(22)

(23)

Понадобится еще формула

2 x12 x2

2 e2 t (С1u1 С2v1 ) cos t ( С1v1 С2u1 ) sin t 2

 

e2 t (С1u2 С2v2 ) cos t ( С1v2 С2u2 ) sin t 2

(24)

Поведение траекторий рассмотрим для двух случаев = 0 и ≠ 0 .

Случай VI.A. = = 0.

В этом случае из (22) - (24) следует, что

, x

, x

– периодические функции от t. Значит фазовые траектории для системы

1

2

(11) являются замкнутыми кривыми. Соотношение (23) в этом случае представляет собой систему линейных алгебраических

уравнений относительно

cos t,

sin t

:

 

 

x

(С u

 

С

v ) cos t ( С v

С

u ) sin t

 

1

1

1

2

 

1

1

1

 

2

 

1

 

x

(С u

 

С v

) cos t ( С v

 

С

u

) sin t

 

2

 

2

1

 

2

2

1

2

 

2

2

 

(25)

Несложно показать, что определитель системы отличен от нуля при

С12

С

2

 

 

 

2

 

 

0

, действительно, он представим в виде:

С u С v

С v С u

 

С

 

С

 

 

v

v

1

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1

2

 

 

 

С u

 

С v

С v

С

u

 

1

 

 

2

 

u

u

2

2

 

 

 

 

 

1

2

2

1

2

2

 

 

 

 

 

 

1

1

Если предположить, что определитель системы(24) равен нулю,

коллинеарность векторов

u,

v

. Поскольку

v О

, то

k

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

v

 

тогда и определитель

1

2

равен нулю, а это значит

u

u

 

 

 

1

1

 

k 0

:

u k v.

Следовательно собственный вектор

 

 

 

 

 

 

 

матрицы А системы (11) можно записать в виде

h (k i) v.

 

 

 

собственному числу = удовлетворяет системе уравнений

С другой стороны этот собственный вектор, отвечающий

a11 i

a12

v1

 

 

0

 

 

a21

 

 

 

(k i)

 

a22 i v2

 

 

0

 

откуда вытекают два равенства

(a

i)v

11

1

коэффициентов и того, что то ≠ 0,

следует,

a

v

 

0,

12

2

 

 

что

v

0,

 

1

 

a v (

21

1

v

0

2

 

a

i)v

0

, из которых в силу вещественности

22

2

 

, что противоречит соотношению (21). Таким образом

определитель системы (25) отличен от нуля, и эту систему можно однозначно разрешить относительно и .

Значит, воспользовавшись основным тригонометрическим равенством можно получить уравнение эллипса:

(25)

числа можно выразить через известные 1, 2, 1, 2, 1, 2. Соотношение (25) означает, что что фазовые траектории в этом случае – кривые второго порядка, а поскольку они замкнуты, значит это – эллипсы, и охватывают начало координат.

Точка покоя в этом случае – центр; она устойчива по Ляпунову, но не асимптотически устойчива.

Случай VI.Б. = ≠ 0.

В этом случае из соотношений (23)-(24) следует, что фазовые траектории системы представляют собой спирали вокруг точки покоя = O . Посмотрите, как меняется при изменении t на 2.

Если < 0 , то точка покоя асимптотически устойчива, и спирали «накручиваются» на начало координат. Если > 0, то точка покоя = O неустойчива, и спирали «раскручиваются» от начала координат. Направление движения вдоль фазовой траектории определяется с использованием вектора скорости в произвольной точке.

Удобно собрать полученные результаты в схему

Схема для изолированной точки покоя

,

Схема для неизолированных точек покоя

Соседние файлы в папке Электронный формат
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности