Лекции, Простокишин В.М. / Электронный формат / ДиИУ_3_Теория_устойчивости_Л_03
.pdf
V. |
|
1 |
|
, |
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
1 |
= |
|
2 |
= |
|
= |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Возможны два случая.
Случай V.A. Существует только один собственный вектор, отвечающий = 0.
Общее решение системы (11) имеет вид
X (t) x1 (t)x2 (t)
|
1 |
С2 |
1 |
|
2 |
h1 |
|
С2 |
|
h1 |
|
h2 |
|
|
|||
|
С1 h |
(h t h |
|
) С1 |
1 |
|
|
|
1 |
t |
1 |
|
(21) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
h1 |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
h |
2 |
|
1 |
|
|
С |
|
|
где собственный вектор |
h |
1 |
и присоединенный |
|
|
2 |
. Положив в (21) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
точки покоя, лежащие на прямой, проходящей через начало координат параллельно
0 |
, имеем как и в предыдущем случае |
|||
|
||||
h |
1 |
Если в (21) С2 0 , то имеем |
||
. |
||||
|
||||
|
|
|||
прямые, параллельные этому собственному вектору
направлении, а при С2 0 в другом. Точки покоя являются неустойчивыми.
h1
. Из (21) видно, что при
С |
0 |
2 |
|
сдвижение происходит в одном
Случай V.Б. Существует два линейно независимых собственных вектора, отвечающих собственному числу = 0.
|
|
|
|
|
|
Это означает, что матрица системы – нулевая матрица, и все точки плоскости – точки покоя, |
x |
0, |
x |
0 |
. |
1 |
|
2 |
|
Имеем «полный покой».
VI. 1 , 2 .
Поскольку матрица системы имеет действительные коэффициенты, то 1 , 2 являются комплексно-сопряженными:
1 = + и 2 = − . Собственные векторы также являются комплексно сопряженными:
|
u |
1 |
|
|
v |
|
|
u |
|
|
v |
|
|
|
v |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
i |
1 |
, |
1 |
|
1 |
|
i |
1 |
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
h |
u |
1 |
|
1 |
h |
u |
1 |
|
1 |
0, |
|
1 |
|
0 |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
v |
|
|
|
2 |
|
|
v |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
Общее решение системы (11) запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X |
|
|
t |
(u cos |
|
|
|
|
|
|
|
t |
(u sin |
t v cos t) |
||||||||||
С e |
|
t v sin t) С e |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или в координатном виде
(21)
(22)
x |
t |
|
(С u |
|
С v ) cos t ( С v |
С u ) sin t |
|
||||||||
e |
|
||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
1 1 |
|
2 |
1 |
|
|
|||
|
|
t |
(С u |
|
|
|
|
|
|
|
|
) sin t |
|||
x |
|
С v |
) cos t ( С v |
С |
u |
|
|||||||||
e |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
||
(22)
Понадобится еще формула
2 x12 x2 |
2 e2 t (С1u1 С2v1 ) cos t ( С1v1 С2u1 ) sin t 2 |
|
e2 t (С1u2 С2v2 ) cos t ( С1v2 С2u2 ) sin t 2 |
(23) |
|
Поведение траекторий рассмотрим для двух случаев = 0 и ≠ 0 .
Случай VI.A. = = 0.
В этом случае из (22) и (23) следует, что |
, x |
, x |
– периодические функции от t. Значит фазовые траектории для системы |
1 |
2 |
(11) являются замкнутыми кривыми. Соотношение (22) в этом случае представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений относительно |
cos t, |
sin t |
: |
|
|
x |
(С u |
|
С |
v ) cos t ( С v |
С |
u ) sin t |
||||||||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
x |
(С u |
|
С v |
) cos t ( С v |
|
С |
u |
) sin t |
||||||
|
2 |
|
||||||||||||
2 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
||||
(24)
Несложно показать, что определитель системы отличен от нуля при
С12
С |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0
, действительно, он представим в виде:
С u С v |
С v С u |
|
С |
|
С |
|
|
v |
v |
|||||||
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|||||
|
|
|
||||||||||||||
С u |
|
С v |
С v |
С |
u |
|
1 |
|
|
2 |
|
u |
u |
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|||
Если предположить, что определитель системы(24) равен нулю,
коллинеарность векторов |
u, |
v |
. Поскольку |
v О |
, то |
k |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
v |
v |
|
|
тогда и определитель |
1 |
2 |
равен нулю, а это значит |
|
u |
u |
|||
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
k 0 |
: |
u k v. |
Следовательно собственный вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
матрицы А системы (11) можно записать в виде |
h (k i) v. |
||
|
|
||
|
|||
собственному числу = удовлетворяет системе уравнений
С другой стороны этот собственный вектор, отвечающий
a11 i |
a12 |
v1 |
|
|
0 |
|
|
|
a21 |
|
|
|
(k i) |
||
|
a22 i v2 |
|
|
0 |
|
||
откуда вытекают два равенства |
(a |
11 |
коэффициентов и того, что то ≠ 0,
i)v |
|
1 |
|
следует,
a |
v |
0, |
12 |
2 |
|
что |
v |
0, |
1 |
|
a v ( |
|
21 |
1 |
v |
0 |
2 |
|
a |
i)v |
0 |
, из которых в силу вещественности |
22 |
2 |
|
, что противоречит соотношению (21). Таким образом
определитель системы (24) отличен от нуля, и эту систему можно однозначно разрешить относительно и .
Значит, воспользовавшись основным тригонометрическим равенством можно получить уравнение эллипса:
(25)
числа можно выразить через известные 1, 2, 1, 2, 1, 2. Соотношение (25) означает, что что фазовые траектории в этом случае – кривые второго порядка, а поскольку они замкнуты, значит это – эллипсы, и охватывают начало координат.
Точка покоя в этом случае – центр; она устойчива по Ляпунову, но не асимптотически устойчива.
Случай VI.Б. = ≠ 0.
В этом случае из соотношения (23) следует, что фазовые траектории системы представляют собой спирали вокруг точки покоя = O . Если < 0 , то точка покоя асимптотически устойчива, и спирали «накручиваются» на начало координат. Если > 0, то точка покоя = O неустойчива, и спирали «раскручиваются» от начала координат. Направление движения вдоль фазовой траектории определяется с использованием вектора скорости в произвольной точке.
Удобно собрать полученные результаты в схему
Схема для изолированной точки покоя
,
Схема для неизолированных точек покоя