Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

ДиИУ_3_Теория_устойчивости_Л_03

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2025

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Л.03

1.4. Качественные исследования точки покоя простейшей системы ОДУ в случае n=2

Рассмотрим линейную систему с второго порядка постоянными коэффициентами



	x	a	x		a	x
	1	11		1	12		1

x		a		x	a		x	2
	2	21		1	22			2

Точка ≡ (		,	) = (0 , 0) = O является единственной точкой покоя этой системы в случае	det A 0	, а в случае
	1	2
det A 0	имеется множество точек покоя.
	имеется множество точек покоя.

В данном параграфе будем считать, что (−∞ , +∞). От системы (11) можно перейти к ОДУ первого порядка:

dx	a	x a		x
2	21	1	22	2
2	21	1	22	2
dx	a	x	a	x
1	11	1	12	2

(11)

(12)

Фазовая траектория системы (11) является интегральной кривой уравнения (12). При этом точка ≡ ( 1 , 2) = (0 , 0) для уравнения (12) является особой точкой , так как это – точка разрыва правой части уравнения (12) и в ней нарушается условие теоремы существования и единственности решения: точка покоя системы (11) является особой точкой уравнения (12).

Исследование точки покоя O на устойчивость.

					h					h
						1						2
				1		1	,	h	2		1
1) Решение определяется собственными числами		,	матрицы системы и собственными векторами	h		1	,	h				2
1) Решение определяется собственными числами	1	2	матрицы системы и собственными векторами			1					h	2
						h					h
						2					2

2) Характеристическое уравнение	det( A E) 0	a11	a12	0	2 SpA det A 0	,
2) Характеристическое уравнение		a21	a22			1 2 ,
		a21	a22

3) Собственные числа могут быть:

а) действительными, при этом по знаку – положительными, отрицательными, нулевыми;

салгебраической кратностью 1 или 2;

сгеометрической кратностью 1 или 2,

б) комплексными, при этом

с действительной частью – положительной, отрицательной или нулевой.

 

Каждому из указанных случаев соответствует свой вид решения, получающийся из общего, тип фазового портрета системы и тип устойчивости определяется собственными числами и собственными векторами системы.

Рассмотрим различные возможные случаи.

I.	1 , 2 , 1 ≠	2	и одного знака.	Пусть 2	<	1 < 0,	т.е. \| 1\| <	\| 2\|.
Общее решение системы (11):

	x												h						h
														1							2
X		1		1	t	С		h	2	e	t	С		1	e	t	С			1		e	t
X			С h e		1	С	2	h		e	2	С		1	e	1	С	2			2	e	2
			1		1		2				2	1		1		1		2			2		2
		x												h						h
		2												2						2

(13)

	h					h
		1						2
1		1	,	h	2		1
h		1					h	2
		h
		2					2

– собственные векторы, отвечающие собственным числам

	,
1	2

, соответственно. Положение

равновесия асимптотически устойчиво (так как оба собственных числа отрицательны).

Положим С1 = 0. Тогда

x		2	e	t	,	x		2	e	t
x	С h		e	2	,	x	С h		e	2
				2						2
1	2	1				2	2	2

– параметрическое уравнение двух лучей, коллинеарных

собственному вектору

h	2
h

. Эти лучи «входят» в точку = O при +∞ , данная точка покоя асимптотически устойчива

(они приближаются к точке покоя = O сколь угодно близко).
Назовем эти лучи фазовыми траекториями II	(т.к. С2 ≠ 0, С1 = 0).
Аналогично, если положить С2 = 0. Тогда	x	1	t	,	x	1	t
		С h e	1			С h e	1
	1	1 1			2	2 2

и получаем еще два луча, коллинеарные

		h	1
собственному вектору		h	, также «входящие» в точку
собственному вектору			, также «входящие» в точку

которые назовем фазовыми траекториями I (т.к. С1
Пусть теперь С1 ≠ 0, С2 ≠ 0, тогда
								1
X x1	С h1 e 1t С h2 e 2t					С h1
	1		1	2	2		1	1 1
								h2
x2
Откуда получаем:
					dx	С h1e 1t
					2	1	1	2
						1	1	2
					dx	С h1e 1t
					1	1	1	1

= O при +∞ (приближающиеся к ней сколь угодно близко),

≠ 0, С2 = 0).

			h		2				x			1	t				2	e		t
	t		h				t		x	С h e				1	С h			e			2
	t	С2 2		1			t		1	1	1	1			2	2	1
e 1		С2 2			2	e 2		,													(14)
					2			,				1		1			2				(14)
				2										1							2
				h					x					t					e		t
									x	С h e					С h				e
									2	1	1	2			2	2	2

С h2e 2t
2	2	2	(15)
С h2e 2t			(15)
2	2	1

Из уравнения (15) с учетом, того, что 2 − 1 < 0 следует, что

dx			1	С			2	e	( )t			1
dx	С h			С		h		e	2	1		h
									2	1
2	1	1	2		2	2	2					2
2	1	1	2		2	2	2					2
dx			1	С			2	e	( )t		t	1
dx	С h			С		h		e	2	1	t	h
									2	1
1	1	1	1		2	2	1					1
					dx				1
					dx				h
				lim		2			2
				lim					1
				t dx					1
				t dx					h
						1			1
– фазовые траектории системы (11), отличные от траекторий I и II «входят», в точку = O при													+∞, имея общую

касательную, коллинеарную вектору

, т.е. касаются фазовых траекторий I, отвечающих меньшему по модулю

собственному числу 1.

В случае 2 > 1 > 0 получаем аналогичную ситуацию, только с той разницей, что точка покоя = O является неустойчивой(так как оба собственных числа положительны), и все фазовые траектории «выходят» из точки покоя (из точки сколь угодно близкой к точке покоя).

Фазовый портрет называется узлом в случаях

1, 2 ,

1 ≠ 2,

1 2 > 0

действительные, неравные друг другу собственные числа одного знак

устойчивый узел, при 1 , 2 < 0

неустойчивый узел при 1 , 2 > 0 .

Рисунку соответствует | 1| < | 2|

Замечание. При действительных и неравных друг другу собственных числах существует базис из собственных векторов матрицы системы. В этом базисе матрица системы – диагональна и система (11) приводится к виду

		y (t) A e				t	,
которая имеет общее решение		y (t) A e				1	,
которая имеет общее решение		1		1		1
уравнению траекторий:
y	A ( y		/ A )		/		,
y	A ( y		/ A )	2		1	,
				2		1
2	2	1	1

y	2

при



			y		y
			1			1	1		,
									,
		y		2	y			2
				2		2		2
A e	t		A			, A
A e	2	;	A			, A	– произвольные
2	2	;			1	2	– произвольные

A 0 и y		0 при A 0 .
1	1	1

(11А)

постоянные. Исключая t, приходим к

(11Б)

Оy

в точке (0; 0) если |

Если у собственных числе знаки совпадают, то траектории – дуги, касающиеся оси

| , или

Оy

в той же точке (0; 0) если |

оси

| , при этом траекториями являются и четыре координатные полуоси и сама точка

(0; 0). Такая точка покоя (точка равновесия) системы (11) (для уравнения (12) – критическая точка) называется узлом. И как мы уже отметили ранее при 1 , 2 < 0 – устойчивый узел (асимптотически устойчивый),

при 1 , 2 > 0 –– неустойчивый узел.

II. 1 , 2 , 1 , 2 разных знаков (т. е. 1 2 < 0). Пусть 2 < 0 < 1. Очевидно, что положение равновесия

= O является неустойчивым (так как = 1 > 0 ). Общее решение системы (11) описывается той же формулой (13), и

из тех же соображений есть фазовые траектории I и II (лучи, коллинеарные векторам

	h
		1
1		1	,
h		1	,
		h
		2

h	2
h

h		2
	1

	h	2

	2

, соответственно).

Но теперь, с учетом знаков собственных чисел, фазовые траектории I «выходят» из точки покоя = O (т.к. 1 > 0), а фазовые

траектории II «входят» в точку покоя = O (т.к. 2 < 0).

Параметрические уравнения фазовых траекторий I и II имеют вид

			1	t
x (t) С h e 1
	1	1	1
I :			1	t
x			1	t
x		(t) С h e
				1
	2	1	2

			2		t
x (t) С h				e 2
	1	2	1
II :			2		t
x			2		t
x		(t) С h			e
					2
	2	2	2

(16)

Тогда с учетом (13) получаем:

						2	e		t		0
lim (x (t) x (t)) lim С h							e			2	0
										2
t	1	1	t	2		1
t			t
lim (x		(t) x				2		e		t	0
lim (x		(t) x	(t)) lim С h					e		2	0
										2
t	2	2	t	2		2
t			t
поскольку 2 < 0 . Таким образом, все фазовые траектории при					→ +∞ имеют асимптотой фазовые траектории I.

Аналогично можно показать, что при → −∞ фазовые траектории имеет асимптотой траектории II (отвечающие 2 < 0).

Для остальных фазовых траекторий (С1С2 ≠ 0) можно записать два соотношения

dx			1			2	e
	С h			С h
2	1	1	2	2	2	2

dx			1			2	e
	С h			С h
1	1	1	1	2	2	1

( )t				dx	1
2	1			dx	h
2	1
		,	lim	2	2
( )t		,	lim		1
( )t			t dx		1
2	1		t dx		h
2	1
				1	1

(17)

dx	С h1e( 1 2 )t С h2							dx	h2
2	1	1	2	2	2	2	, lim	2	2	(18)
	С h1e( 1 2 )t С h2						, lim		h2
dx	С h1e( 1 2 )t С h2						t dx		h2
1	1	1	1	2	2	1		1	1

В данном случае положение равновесия называется седлом. Оно неустойчиво.

Положение равновесия седло.

III.	1 , 2 ,	1	= 2 =	≠ 0 .
Возможны два случая.

Случай III.A Существует только один линейно независимы собственный вектор, отвечающий собственному числу

В этом случае жорданова форма матрицы систему представляет собой жорданову клетку размера 2x2, а жорданов базис

		h					h
			1						2
	1		1		h	2		1
состоит из собственного вектора	h		1	и присоединенного	h			h	2	. Общее решение системы (11) имеет вид:
			h					h
			2					2

				x (t)																											h								h							h
																																1									1								2
	X (t)				1								1		1	t			2		1		2			t				1		1			t			2			1							1			t
													1				С		2		(h t h			)e						1		1	e			С		2			1			t					2		e
													С h e				С				(h t h			)e				С					e			С								t							e
																																																			2
					x	(t)																										h									h							h				(19)
					x	(t)																										h									h							h
					2																											2									2							2
			. Тогда положение равновесия = O асимптотически устойчиво.
Рассмотрим	<	0	. Тогда положение равновесия = O асимптотически устойчиво.
													x				1 t			,					1		t
																	1 t								1		t
Положим в (19)			С		0	. Тогда									С h e						x С h e										– параметрическое уравнение двух лучей, коллинеарных
			С		0								1			1	1				2		1		2
		2											1			1	1				2		1		2
					1
собственному вектору					h			. Эти лучи «входят» в точку покоя																					= O, точка покоя асимптотически устойчива. Называем
собственному вектору								. Эти лучи «входят» в точку покоя																					= O, точка покоя асимптотически устойчива. Называем

эти лучи фазовыми траекториями I.
Рассмотрим теперь в (19)							С			0			. Тогда получаем соотношение
Рассмотрим теперь в (19)							2						. Тогда получаем соотношение
		dx								1						1	h	2				1							1	/ t		С				1	h			2								1		/ t		1
		dx			С h						С (th						h			) С h					С h					/ t		С		(h			h				/ t) С h									/ t		h
		2				1				2			2			2	2				2	2				1			2				2			2		2								2		2				2
		2				1				2			2			2	2				2	2				1			2				2			2		2								2		2				2
		dx								1	С					1	h	2		) С		1							1	/ t		С				1	h			2	/ t) С							1				1
		dx			С h						С			(th			h			) С		h			С h					/ t		С	2	(h			h				/ t) С						h		/ t		t	h
		1				1			1				2			1	1				2	1				1			1				2			1		1								2		1				1

Фазовые траектории системы (11), отличные от фазовых траекторий I «входят» (																																								<		0	)в точку покоя = O, касаясь фазовых
																																								<		0	)в точку покоя = O, касаясь фазовых
траекторий I.
траекторий I.
																									только положение равновесия = O неустойчиво, и фазовые

В другом случае, когда									>		0	,		ситуация аналогична,

траектории «выходят» из точки равновесия.
Положение равновесия = O

											называется вырожденным узлом (устойчивым при																																<	0	и неустойчивым при								>	0	)

Таким образом:

				x		dx	1
1) С			0	x		dx	h	,	t
1) С			0	2		2	2	,	t
				2		2	2
	2			x		dx	1
				x		dx	h
				1		1	1
				dx			1
				dx			h
2) С			0		2		2
2) С		2	0	dx			1
				dx		t	h
					1		1

Случай III.Б Существует два линейно независимых собственных вектора, отвечающий собственному числу

В этом случае все ненулевые векторы – собственные, матрица системы



x1		x1	,
			,
x		x
	2	2

, система распадается на два уравнения

Общее решение системы записывается в виде

С e

и все решения представляют собой лучи, которые

«выходят» из начала координат (если

) и «входят» в начало координат,

если

Положение равновесия называют особым (или дикритическим) узлом.

IV. 1

, 2 ,

1 = 0,

2 ≠ 0 .

Общее решение системы (11) имеет вид


			X (t)

		h
			1
	1		1		h	2
где собственные векторы	h			и	h

			1
			h
			2

x (t)
1
x	(t)

2
	h		2
		1

		h	2

		2

									h				h
										1					2
	1	С		h	2	e	t	С		1	С			1		e	t
С h		С		h		e	2	С			С					e	2
							2										2
1			2					1		1		2		h	2
										h				h
										2				2

соответствуют собственным числам 1, 2 соответственно.

(20)

			С	0				h	1
Положив в (20)			С	0	, имеем точки покоя, лежащие на прямой, проходящей через начало координат параллельно			h	.
Положив в (20)			2						.

	С	0				h	2
Если в (20)	С	0		, то решения представляют собой лучи с направляющим вектором		h	.
Если в (20)	2						.

При этом, если 2 < 0 , то все точки покоя являются устойчивыми по Ляпунову (но не асимптотически устойчивы), а если 2 > 0 , то все точки покоя неустойчивы.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Электронный формат

#
01.06.20251.02 Mб1ДиИУ_1_Элементы_теории_устойчивости_Л_02.pdf
#
01.06.20253.53 Mб1ДиИУ_1_Элементы_теории_устойчивости_Л_03_05.pdf
#
01.06.20251.72 Mб1ДиИУ_2. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка. Л. 06-07.pdf
#
21.05.20251.02 Mб0ДиИУ_2_Элементы_теории_устойчивости_Л_02.pdf
#
01.06.20256.81 Mб1ДиИУ_3_Ряды_Фурье.pdf
#
21.05.20252.27 Mб0ДиИУ_3_Теория_устойчивости_Л_03.pdf
#
01.06.20251.5 Mб0ДиИУ_3а_Ряды и преобразования Фурье_Оконное Фурье преобразование и вейвлет-преобразование(исх).pdf
#
01.06.20251.82 Mб1ДиИУ_3а_Ряды и преобразования Фурье_Оконное Фурье преобразование и вейвлет-преобразование(с пометками на лекции).pdf
#
01.06.20255.19 Mб1ДиИУ_4_Интегральные_операторы_и_интегральные_уравнения.pdf
#
21.05.20253.09 Mб0ДиИУ_4_Теория_устойчивости_Л_04.pdf
#
01.06.20252.47 Mб0ДиИУ_5. Краевые задачи(исх).pdf