Анмех лекции 2025 Барабанов / Программа_2025

53. Докажите, что преобразование

Q = ln(qp), P = −qp ln q,

от канонически сопряж¼нных переменных q и p к другой паре переменных Q и P является каноническим. Найдите производящие функции F (q, Q) и ψ(p, Q) этого преобразования.

54. Функция Гамильтона H(p, q, t) системы с s степенями свободы известна. С помощью производящих функций φ(p, Q, t) и ψ(p, P, t) получите уравнения, по которым можно перейти от канонических переменных (p, q) к новым каноническим пере-

менным (P, Q), а также уравнения, определяющие функцию Гамильтона H′(P, Q, t) в новых переменных. Пользуясь полученными соотношениями, докажите справедливость следующих ра-

55. + Функция Гамильтона гармонического осциллятора имеет вид

H = p2 + mω2q2 ,

2m 2

где m и ω масса и частота колеблющейся частицы. Напиши- те функцию Гамильтона H′ и уравнения Гамильтона в новых

канонически сопряж¼нных переменных Q и P , взяв в качестве производящей функции

G(q, P ) = −mωq2P 2 .

Решите уравнения Гамильтона для Q и P и удостоверьтесь в том, что обратное преобразование к q и p да¼т ожидаемый ответ.

Тема 13. Метод Гамильтона Якоби. Действие угол

56. Механическая система характеризуется функцией Гамильтона

Используя метод Гамильтона Якоби, найдите закон движения механической системы, если начальные условия имеют вид:

q1(0) = q˙1(0) = q2(0) = q3(0) = 0, q˙2(0) = 2, q˙3(0) = 1.

21

57.Найдите закон движения r(t) частицы массой m в однородном поле тяжести Земли (ускорение свободного падения g) методом

Гамильтона Якоби. Примите, что поверхность Земли это плоскость (x, y), а ось z направлена вверх. В начальный момент времени r(0) = 0 и r˙(0) = v0, ãäå

(à) v0 направлен вдоль оси z,

(б) направление v0 в системе (x, y, z) определяется полярным углом θ и азимутальным углом φ.

58. + Найдите методом Гамильтона Якоби закон движения части-

цы массой m в потенциальном поле U(r) = −|α|/r. Используйте полярные координаты (r, φ). Для установления зависимости r от t следует воспользоваться подстановкой r(ξ) = a(1 − e cos ξ) и выразить t через ξ. Найдите период движения по орбите T и по-

кажите, что это тот же период, который был получен в задаче 17 другим способом.

59.Частица массой m движется в потенциальном поле U(x) = kx2/2 с энергией E. Введите переменные действие I и угол Ψ, вы-

разите через них функцию Гамильтона этой системы. Запишите уравнения движения в переменных (I, Ψ) и найдите закон дви-

жения частицы x(t).

60. + Частица массой m движется с энергией E в потенциальном

ãäå x(0) = x0 наименьший из положительных корней уравнения U(x0) = E. Найдите закон движения x(t) и частоту колебаний ω частицы, используя переход к переменным действиеугол . Как частота зависит от энергии E?

61. + Частица массой m движется по эллиптической орбите в потенциальном поле U(r) = −|α|/r с энергией E и моментом импуль- са L. Вычислите действия Ir è Iφ, соответствующие переменным (pr, r) è (pφ, φ), и сопряж¼нные углам Ψr è Ψφ. Покажите, что частоты радиального ωr и углового ωφ движений совпада- ют (такое движение называют вырожденным). Выразите период движения по орбите T через параметры задачи и покажите, что

это тот же период, который был получен в задаче 17 другим способом.

22

Тема 14. Теорема Лиувилля. Адиабатические инварианты

62.В начальный момент времени координаты множества частиц массой m, совершающих колебания как осцилляторы с частотой ω, заключены в интервале [−∆x/2, ∆x/2], тогда как импульсыв интервале [−p0, p0]. Установите, как изменяются со време-

нем объ¼м, объ¼м в импульсном пространстве и фазовый объ¼м, занимаемые этими частицами. Совет: замените импульс p переменной p ′ = p/(mω), ответ упростится.

63.Под действием пружины шарик совершает гармонические колебания с амплитудой a. С течением времени коэффициент ж¼сткости k пружины медленно уменьшается. Определите закон изменения амплитуды колебаний шарика в зависимости от k.

23