Анмех лекции 2025 Барабанов / Программа_2025

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1.Уравнения Ньютона, импульс, энергия, угловой момент (момент импульса). Вектор Лапласа интеграл движения в поле гравитационной (или кулоновской) силы. Векторы и тензоры в механике. Одномерное движение в потенциальном поле: финитное и инфинитное.

2.Метод Лагранжа: обобщ¼нные координаты, скорости и импульсы, функция Лагранжа, действие. Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона), уравнения Лагранжа. Цикличе- ские координаты и интегралы движения. Сохранение энергии

èоднородность времени.

3.Движение частицы в центральном поле: сохранение углового момента, второй закон Кеплера. Эффективная потенциальная энергия. Задачи Кеплера и Резерфорда. Классификация орбит, параметры орбит.

4.Задача рассеяния. Дифференциальное и полное сечения рассеяния частиц в потенциальном поле. Рассеяние в поле кулоновской

èгравитационной сил. Формула Резерфорда. Рассеяние на малые углы.

5.Движение в неинерциальных системах отсч¼та. Силы инерции. Центробежная сила, сила Кориолиса.

6.Cистема взаимодействующих частиц, энергия, импульс и момент импульса. Замкнутые и незамкнутые системы. Центр масс (инерции)и система центра инерции (с.ц.и.). Симметрии (однородность и изотропия пространства) и законы сохранения (полного импульса и полного момента импульса). Голономные связи. Метод Лагранжа для систем со связями.

7.Задача двух тел и е¼ сведение к задаче о движении одной частицы в центральном поле. Упругие столкновения, дифференциальное сечение рассеяния в л.с. и с.ц.и. Диаграмма импульсов. Гравитационные ман¼вры.

8.Малые колебания, свободные и вынужденные (под действием внешней силы). Биения, резонанс. Энергия системы, совершающей вынужденные колебания. Колебания вблизи точек Лагран-

2

жа. Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты, нормальные колебания.

9.Симметрии и законы сохранения. Теорема Н¼тер.

10.Метод Гамильтона: функция Гамильтона, уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Уравнения Гамильтона и принцип наименьшего обобщ¼нного действия. Скобки Пуассона, их свойства, связь с интегралами движения. Теорема Пуассона.

11.Метод Гамильтона: канонические преобразования. Производящие функции.

12.Фазовое пространство и фазовые траектории. Теорема Лиувилля (инвариантность фазового объема относительно канониче- ских преобразований). Движение как каноническое преобразование. Действие как производящая функция.

13.Метод Гамильтона Якоби, уравнение Гамильтона Якоби. Разделение переменных в методе Гамильтона Якоби.

14.Канонические переменные действие угол . Адиабатические инварианты.

Литература

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Физматлит, 2019.

2.Алексеев А.И. Техника вычислений в классической механике. М.: МИФИ, 1984.

3.Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975.

4.Голдстейн Г., Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика. Москва-Ижевск: ÐÕÄ, 2012.

5.Коткин Г.Л., Сербо В.Г., Черных А.И. Лекции по аналитиче- ской механике. 2-å издание. Москва-Ижевск: ÐÕÄ, 2017.

6.Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Cборник задач по классической механике. 4-е издание. Москва Ижевск: РХД, 2010.

3

Пояснение о семинарах и задании

Ниже приведен список задач, рекомендуемых для обсуждения на семинарах, а также задачи Задания , сгруппированные по темам курса. Преподаватели, ведущие семинары, могут обсуждать как рекомендованные задачи, так и другие, по своему выбору, в том числе зада- чи Задания . Если задача Задания разбирается на семинаре полностью, то преподаватель может исключить е¼ из Задания (с возможной заменой на другую задачу, по своему выбору).

Задачи, помеченные крестиком +, необязательные (как правило, повышенной сложности).

ЗАДАЧИ (для обсуждения на семинарах)

1.(Òåìû 1-2) В области x > 0 опишите качественно характер движения частицы массой m в потенциальном поле

при различных значениях энергии E частицы.

2.(Òåìû 1-2) Найдите закон движения x(t) частицы массой m с энергией E в потенциальном поле

3. (Темы 1-2) Частица массой m движется с энергией E в потенци-

4

4.(Тема 7) Найдите дифференциальное и полное сечения рассеяния частиц на абсолютно тв¼рдом неподвижном шаре радиусом R.

5.(Тема 7) Частицы, движущиеся с энергией E, рассеиваются цен-

Найдите сечение падения σ(E) частиц в центр поля.

6.(Тема 9) Тяж¼лая частица массой m1 рассеивается на покоящей- ся (до столкновения) л¼гкой частице массой m2. Потенциальная энергия взаимодействия этих частиц монотонно убывает с расстоянием. Найдите максимальный угол θ1max рассеяния налета- ющей частицы в лабораторной системе отсч¼та.

7.(Тема 9) Частица массой m1 сталкивается с покоящейся (до столкновения) частицей массой m2 и рассеивается на угол θ1 = π/2 в лабораторной системе отсч¼та. При каком отношении масс m1/m2 это возможно? Найдите отношение m1/m2 в случае, ко- гда частица массой m2 вылетает под углом θ2 = π/6 к оси столкновения.

8.(Тема 9) Частицы в виде абсолютно тв¼рдых шариков радиусом R1 рассеиваются на аналогичных покоящихся частицах ради- óñîì R2. Массы всех частиц одинаковы. Найдите дифференциальные сечения рассеяния dσ1 è dσ2 налетающих и первоначаль-

но покоившихся частиц в лабораторной системе отсч¼та. Каковы дифференциальное и полное сечения рассеяния частиц, если они тождественны (при этом R1 = R2 = R)?

9.(Тема 10) Частица массой m c зарядом e движется по прямой, наклон¼нной к силе тяжести под углом π/4. В некоторой точке

этой прямой закрепл¼н одноим¼нный заряд e0, который препят-

ствует неограниченному падению частицы. Определите частоту малых колебаний частицы вблизи е¼ равновесного положения.

10.(Тема 10) Первоначально (при t = 0) покоившийся в равновесном положении одномерный осциллятор массой m с собственной частотой ω0 подвергся действию постоянной силы F0 в течении времени T в направлении оси колебаний. Найдите энергию E, приобрет¼нную осциллятором за время действия силы.

5

11. (Тема 11) Функция Лагранжа имеет вид:

q˙2t L = q˙1q˙2 − 22 .

Найдите функцию Гамильтона.

12. (Тема 11) Функция Гамильтона имеет вид:

p

H = m2c4 + p2c2 .

Найдите функцию Лагранжа.

13.(Тема 11) Найдите закон движения частицы, если функция Гамильтона имеет вид:

H(x, p) = A√p − xF.

14.(Тема 11) Проинтегрируйте канонические уравнения механиче- ской системы с двумя степенями свободы, если функция Гамильтона H, выраженная через безразмерные переменные, и началь-

ные условия имеют вид:

q

H = 1 + p21 + p22 + q1, q1(0) = q2(0) = p1(0) = 0, p2(0) = 1.

15. (Тема 11) Вычислите скобки Пуассона

где a и b постоянные векторы, а f = f(r, p ) произвольная функция r и p.

16.(Тема 12) Пусть q и p канонические координата и импульс, а α, β, γ и δ произвольные комплексные числа или функции времени. При каком условии линейное преобразование

Q = αq + βp, P = γq + δp,

является каноническим?

6

17. (Тема 12) Найдите каноническое преобразование от переменных q и p к новым переменным Q и P , которое определяется произ-

водящей функцией

P 2

Φ(p, P ) = p ln p + 1 .

Выразите Q и P через q и p.

18. (Тема 12) Функция Гамильтона гармонического осциллятора

где m и ω масса и частота колеблющейся частицы. Напиши- те функцию Гамильтона H′ и уравнения Гамильтона в новых

канонически сопряж¼нных переменных Q и P , взяв в качестве производящей функции

F (q, Q) = mωq2 ctg Q .

2

Решите уравнения Гамильтона для Q и P и удостоверьтесь в том, что обратное преобразование к q и p да¼т ожидаемый ответ.

19. (Тема 13) Гамильтониан осциллятора имеет вид:

сопряж¼нным переменным Q и P , для которых гамильтониан осциллятора обращается в нуль тождественно. Выразите q и p через Q и P и убедитесь, что полученные формулы представляют собой решение q(t) и p(t) задачи о движении осциллятора

(или, другими словами, решите задачу об осцилляторе методом Гамильтона Якоби).

Используя метод Гамильтона Якоби, найдите закон движения механической системы, если начальные условия имеют вид:

q1(0) = q2(0) = q˙3(0) = 0, q3(0) = q˙1(0) = q˙2(0) = 1.

7

21.(Тема 14) В начальный момент времени координаты множества движущихся частиц заключены в интервале [−∆x/2, ∆x/2], тогда как импульсы в интервале [−p0, p0]. Установите, как изме-

няются со временем объ¼м, объ¼м в импульсном пространстве и фазовый объ¼м, занимаемые этими частицами, если (а) частицы движутся свободно вдоль (или против) оси x; (б) частицы движутся свободно вдоль и против оси x между двумя неподвижными стенками, соударения со стенками абсолютно упругие.

22.(Тема 14) Маятник совершает малые колебания в поле тяжести. Максимальный угол отклонения маятника от вертикали составляет величину ψ0. Длина маятника l адиабатически меняется со временем. По какому закону изменяется угол ψ0 при изменении длины l маятника?

ЗАДАНИЕ 1

Темы 1-2. Одномерное движение

1. Частица массой m движется в потенциальном поле

U(x) = kx22 .

Воспользуйтесь тем, что E = T +U (E и T полная и кинетиче-

ская энергии частицы) и получите дифференциальное уравнение 1-го порядка для координаты частицы x(t). Найдите закон дви-

жения x(t) и период колебаний T , если x(0) = 0 и x˙(0) = v0 > 0.

В случае одномерного финитного движения (как в этой зада- че) частица проходит от одной точки поворота до другой за половину периода T/2, а произвольный интервал (x, x + dx) за

время dt. Отношение dw = dt/(T/2) назов¼м вероятностью обнаружения частицы в интервале dx. Найдите плотность вероятности ρ(x) = dw(x)/dx, постройте график ρ(x). Что получится,

8

2. Найдите закон движения x(t) частицы массой m в потенциаль-

íîì ïîëå x4

U(x) = −U0 a4 ,

если е¼ энергия E равна нулю. В начальный момент частица находится в точке x(0) = x0 > 0. Рассмотрите случаи x˙(0) ≡ v0 > 0 è x˙(0) ≡ −v0 < 0. Нарисуйте графики x(t) для обоих случаев.

3. Частица массой m движется с энергией E в потенциальном поле

−2x

U(x) = U0e a , U0 > 0, a > 0.

Найдите закон движения x(t), если x(0) = x0 корень уравне- íèÿ U(x0) = E.

4.Найдите закон движения x(t) (и период колебаний T , если движение финитно) частицы массой m в потенциальном поле (потенциал Морзе)

U(x) = A(e−2αx − 2e−αx), A > 0, α > 0.

Рассмотрите все случаи финитного и инфинитного движений. Примите для определ¼нности, что в начальный момент t =

0 частица покоится, x˙(0) = 0. Если движение финитно, то x(0) = x1, ãäå x1 левая точка поворота.

5. + Найдите изменение периода движения частицы, вызванное до-

бавлением к полю U(x) малой добавки δU(x), если

Темы 3-4. Векторы и тензоры. Законы сохранения

6.Покажите, что символ Кронекера δij и символ Леви-Чивиты εijk

являются численно-инвариантными тензором и псевдотензором, соответственно, в 3-мерном пространстве.

9

7.Покажите, что векторное произведение векторов может быть записано с помощью символа Леви-Чивиты:

×

[a b ]i = eijkajbk .

Используя свойства псевдотензора εijk, докажите, что смешан-

ное произведение тр¼х векторов инвариантно относительно циклических перестановок:

8. Упростите (вычислите) свертки:

εijkεklm , εijkεjkl , εijkεijk .

Используя первую из этих св¼рток, докажите формулу:

× × −

[a [b c ]] = b(ac ) c(ab ).

9.Пусть aij элементы произвольной матрицы a размерности 3Ч3. Выразите св¼ртку ailajmaknεlmn через определитель det||a|| матрицы a. Воспользовавшись полученным соотношением, докажи-

òå, ÷òî

det||a · b|| = det||a|| · det||b||,

где a и b произвольные матрицы 3 Ч 3.

10. + Обобщите результат, полученный в задаче 9, на случай матриц

размерности N Ч N, где N произвольное натуральное число.

11.Частица массой m движется в поле U(r) = kr2/2 (¾объ¼мный осциллятор¿). Докажите, что тензор Tij = mr˙ir˙j +krirj является интегралом движения, где ri это i-я декартова составляющая (i = 1, 2, 3) радиуса вектора r частицы.

12. Выясните, какие из физических величин E, p и L сохраняют

постоянное значение при движении заряженной частицы в постоянном электрическом поле:

(а) равномерно заряженного шара,

(б) равномерно заряженного бесконечного цилиндра,

(в) равномерно заряженной плоскости,

(г) двух параллельных равномерно заряженных нитей,

(д) двух точечных зарядов.

10