AM_HomeWork_1_2025 (1)
.pdf
Вариант 1
1. Частица массой m движется с энергией E в потенциальном поле:
U(x) = U0e−2x/a,
где U0 > 0 и a > 0. Найдите закон движения x(t), если x(0) = x0 — корень уравнения U(x0) = E.
(2 балла)
2.Найдите закон движения x(t) и период колебаний частицы массой m в потенциальном поле:
U(x) = A(e−2αx − 2e−αx),
где A > 0, α > 0. Рассмотрите только случай финитного движения. Примите для определенности, что в начальный момент времени t = 0 частица покоится x˙(0) = 0.
(2 балла)
3.Найдите значения момента импульса L (L > 0) частицы массой m при которых возможно финитное движение в потенциальном поле:
U(r) = U0 · e−k2r2 ,
где U0 > 0, k > 0.
Подсказка: при решении возникнет условие L2 f(x), исследуйте функцию f(x) для определения точного условия на возможные L.
(2 балла)
4.Найдите траекторию частицы массой m и имеющую момент импульса L в потенциальном поле:
α β U(r) = r + r2,
где α > 0, β > −L2/2m. Нарисуйте полученную траекторию частицы.
(2 балла)
5.Найдите дифференциальное сечение (dσ/dΩ) быстрых частиц (E V ) в поле U(r):
U(r) = |
V 1 − R2! |
, r < R, |
|
|
|
r2 |
|
|
0, |
|
r > R. |
|
|
|
|
(2 балла)
1
Вариант 2
1. Частица массой m движется с энергией E в потенциальном поле:
U(x) = U0x4,
где U0 > 0 и a > 0. Найдите закон движения x(t), если x(0) = x0 — корень уравнения U(x0) = E.
(2 балла)
2.Найдите закон движения x(t) и период колебаний частицы массой m в потенциальном поле:
U(x) = A · tg2(αx),
где A > 0, α > 0. Рассмотрите только случай финитного движения. Примите для определенности, что в начальный момент времени t = 0 частица покоится x˙(0) = 0.
(2 балла)
3.Найдите значения момента импульса L (L > 0) частицы массой m при которых возможно финитное движение в потенциальном поле:
U(r) = −α · e−kr,
r
где α > 0, k > 0.
Подсказка: при решении возникнет условие L2 f(x), исследуйте функцию f(x) для определения точного условия на возможные L.
(2 балла)
4.Найдите траекторию частицы массой m и имеющую момент импульса L в потенциальном поле:
α β U(r) = r − r2,
где α > 0, β > L2/2m. Нарисуйте полученную траекторию частицы.
(2 балла)
5.Найдите дифференциальное сечение (dσ/dΩ) быстрых частиц (E V ) в поле U(r):
!
a2
U(r) = V ln 1 + r2 .
(2 балла)
2