Лекции Михайлов / Экзаменационные_вопросы_по_курсу_ТФКП_docx2_docx3
.docxЭкзаменационные вопросы по курсу ТФКП
( для групп Б23-101, 102, 103, 104, 105, 107, 113, 114, 161, 162, 163 )
2024-2025 учебный год
1. Определение комплексного числа. Аксиомы, определяющие поле
Комплексных чисел.
2. Комплексные числа как расширение поля действительных чисел.
Изоморфизм различных полей комплексных чисел.
3.Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Сфера Римана. Расширенная комплексная плоскость.
4. Функция комплексного переменного. Предел функции. Непрерывность.
Равномерная непрерывность.
5.Числовые и функциональные ряды. Теоремы Вейерштрасса.
Достаточный признак равномерной сходимости.
6. Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
7. Моногенность. Условия Коши-Римана. Определение аналитической функции.
8. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
9. Понятие конформного отображения. Отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями и обращение этих функций.
Точки ветвления .Выделение однозначной аналитической ветви. Понятие поверхности Римана.
10. Интеграл по комплексной переменной. Теорема Коши ( основная ).
11. Интегральная формула Коши.
12.Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная. Формула Ньютона – Лейбница.
13. Интегралы с параметром.
14. Существование производных всех порядков у аналитической функции.
15. Восстановление аналитической в односвязной области функции по её действительной части.
16. Теорема Morera.
17. Принцип максимума модуля аналитической функции.
18. Теорема Тейлора о разложимости функции комплексного переменного в окрестности её точки аналитичности в степенной ряд. Единственность разложения.
19. Теорема Лиувилля.
20. Теорема единственности аналитической функции.
21. Ряд Лорана. Теорема о разложимости в ряд Лорана аналитической в кольце функции. Единственность разложения.
22. Понятие изолированных особых точек однозначного характера и
их классификация. Поведение аналитической функции в окрестности изолированной особой точки
23. Вычет аналитической функции относительно изолированной особой точки. Вычет в полюсе. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
24. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов.
25. Использование вычетов при вычислении некоторых определённых интегралов. Лемма Жордана.
26.Принцип аргумента аналитической функции. Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры.
27. Аналитическое продолжение. Принцип непрерывности.
28. Основные принципы конформного отображения .Принцип взаимно-однозначного соответствия. Принцип соответствия границ. Принцип симметрии.
29. Преобразование Лапласа. Понятия оригинала и изображения. Аналитичность изображения в полуплоскости.
30. Теоремы подобия, запаздывания, смещения.
31. Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала и изображения.
32. Обращение преобразования Лапласа. Первая и вторая теоремы Хэвисайда.
33. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Составитель лектор Михайлов В.Д.