Лекции Михайлов / ТФКП_4_Аналитичные_функции_и_интеграл_по_комплексной_переменной_Л_04

14 по лазательная ункция

W = et-exiy-exeiy-exlonytis.my

(дифференцируемая •. выполняется условие Коши-Римана

Wentiv, и,и дифференцируемы х,у

тогда e-аналитическая на всей плоскости ¢

• к однолисти функция в некоторых

областях(me.

W-17)-однолистна в области Д,если

21,12 ED, 21712 W, +12

По определению, в области однолистности отображение такой ю=На взаимно-одну-

начно

• В нашем случае: met:

найдём области,где ф-ля не однолистна,

т.е. полоса огуат-область однолистности отображение этой полосы на@:

Листы и-ней не, соединённые друг сдругом по непрерывности:

Нижний берег к-го листа с верхним берегом IKA-илиста образуют бесконечно-

нотную поверхность Римана обратной фли (обратнаяф-ня: w-In)

W= Ln erez entire=peid p-e",

" U-lap V-4+ 25K, KELI

тогда w-41-lnpticet2.sk), КЕК

•для ф-ли не-12, 2-0-точка ветвле­ ния (значения до-ни вэтойточке неравны)

действительно:

"К-ду др-д

• Непрерывные в областиД с непрерыв­

ными в этой области частными производ­ ными,решения уравнения являются

гармоническими Очевидно, мнимая часть исх.4)тоже

удовлетворяет

00-91+912=0

◦КП

Интеграл по комплексной переменной

] в Оху задана кривая с-кусочно-гладкая

• введём разбление на звенья точками и, в каждом звене произвольно выбираем и

составляем интегральную сумму:

D=[711,707, 07=1,71-2

1=1

при п → - max/oz:/→0

тогда

„→him-[11 AILILL:-1Y

интеграл вдоль ст ≥ обозначение: у_fads

Сведение к интегралу Iрода:

/fads-Пискун:way»Casady)-

Свойства комплексного интеграла (из связи с интегралом#рода)

07117dL-JAMAL

В

◦Giant/tends-ftnds.ngec-e.ve.

6 С

◦peg)da-font/9ᵗʰ

ДВ Ё. litoral=ftp.EAnzilgfmsinillozil

замена переменных

/Hada-Steamerends.am

Г

с 1=4 (в)-диф-ма по в

Т (основная теорема Коши)

• ] И-12) аналитична (т.е. имеет непрерывную производную)в односвязной области д.тогда интеграл по замкнутому контуру, целиком лежащему вд, равен нулю

§Hada-?

с SAAL-Jude-vdytifudsc.indye

с C

по формуле Грина: c Paddy-17-giddy G

Ж!-Giddy tiff-giddy»

б/д(теорема кожи для многосвязнойобласти)

соединим гранты riot, проход мне дважды получим односвязную область

для такой области уже доказано, что

интеграл по полной границе = 0:

п

State-Σ/finds 70,

Интегральная формула Коми

• ЗА(7)аналитика в некоторой односвязной области и непрерывна вней с границей:

при VIES' 412,10) аналитична

в силу интирала Кожи для многосвязнойобл-m:

при {→о.

р/1¼-70 dz = 1740).25 = Тt.tt?h

Формула среднем значения аналитической 712):

из интегральной флы кит: охватывающую 20 ]Г-окружностьрадиуса R.mga.de-de

tilde

Интегралы с параметром