Лекции Михайлов / ТФКП_7_Особые_точки_аналитической_функции_Л_07
.pdf
17 |
(доказательство единственностиразложения в |
||
имеем разложение |
пад лорана |
) |
|
Э AL)-Еда 12-70)" 1. (2-20)-ти
171=1%411-207" 1.12-207"
|
|
промытегрируем понекоему |
|
|
контуру р: |
2%6/210)"""= [С:(2-201"-ти |
||
I |
I |
|
|
n-8 |
|
r |
r |
|
причём п-тек, п-m→ a-a'
разложение единственно
#
(о нуле аналитическойф-ни)
• 3711) ^ |
в некойобласти д, тогда 1=70- |
|
- ноль ф-ни Аа, ест Ато |
|
|
|
.р |
12-20)" +- |
|
м, 611-20)" = |
|
если внек-ойстности Вко) Аа)- |
7 |
|
= (2-20) "у(е), 1) ≠о т-порядок нуля (m,0)
(единственности аналитическойфункции)
• если в области в аналитичности Асе) нанекот-ой последовательности различных внутренних точек и,
причём ftp.n-aef, flan)-0, n 8170 вG
M.К.
Эка: тогда
117) аналитична вд, то А)ECG), me
lim Han)-0 Аа) =о-для произвольной на ns
разложение вряд Тейлора при а:
НА-Ёлка",т.к. Hato, то На)-о-о
714-12- а1"Σ h 12-а) "12-0714, 4)70 |
|
NIMH |
412)- |
|
4) |
тогда и 4)разложила в 1-a: 412)-Ёс. 4-a)", т.к.
NO
Аа)-0, At)12-9)"417), 7nA
712) =14-а)"414) |
412.) |
|
в |
± : |
414=212-9" |
4=0 4=1
4171=(7-20)".Σ 12-а)"Сп = (7-2)"4,11, 41911 n=mH
4)
аналогично: 4,12"1=0 41 (а)10 И Т.д
.
M.EC"-O, U -> 7170 в #
две аналитические ф-ни совпадают на последо вательности In (ок-ых говорилось втереме),тогда
-(2)= 111-да) 70, во всех 2m
F/10 в G At)=да) вд
аналитическая вд ф-ня имеет только конечное число
нулей вкаждой подобласти д
. если аналитическая ф-ня: KnewA")/2.)-0, 2.- - нек-ая внутренняя точка, m Aжовд
аналитическая ф-ияможет иметь х-ых число нулей только воткрытой или неограниченнойобласти
• если 12),912)-аналитические, совпадают нанек ом отрезке кривой вобласти аналитичности, то они
совпадают во всей области
• если 1,12) аналитична вобласти G,1) -вд., причём #hitGili 912,m 7!аналитическая fig:
А)= |
felt, ZE GI |
ое продолжение |
f, (1), zag, '7942, 811- |
||
|
1,(2) из G, на 51062 |
|
аналитическим продолжением hang д.на Gus.
|
(аналитическое продолжение |
|
||||
Прассмотримф-ю#=#-онааналитика в |
||||||
|
области 144. 714=122" |
. |
|
|||
|
y |
|
|
рассмотрим внутреннюю2=4 |
||
|
|
|
||||
|
|
72 |
|
вблизи границы |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
711- |
|
в 1, |
|
1 Н |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
+разложение вряд |
в 21: |
|||
|
|
|||||
- 1 |
|
|
со своим кругом сх-сти |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Д) аналитична в своём круге ск-сти
в объединении этих крупв определена!аналитическая ф-ня ½ поступим аналогично для точки 2- ... аналогично
½разложим в г-г.
через п шагов можно покрыть всю ¢ такими кругами за Включением 1-1
так определённая ф-ля есть полная аналитическая
ф-ия Правильные и особые точки аналитическойфункции
2=20-правильная, если внейНаразложима: 712)=[G/2-707", иначе-особая
• внутренняя точка области аналитичности всегда правильная: на границе-не всегда
(изолированные особые точки однозначного характераособая точка изолирована, если кольцо её ан-ти:
042-2012 {
показывается, что 7три типа изолированныхособых точек:
1) устранимая точка если ряд Лорана не содержит главнуючасть
„ "
2) плюс если вряде Лорана главная часть конечна
3) существенно особая (Ёжика)) если главная часть ряда Ирана полна
•другая их классификация
1)устранимая точка
если him14-конечная
2) Млрд»◦
если в окр-сти точки /НА-бесконечнобольшаяф-ня
3) существенно-особая
если lim11 1970
док-во их эквивалентности: а) устранимая точка
из 1 классификации ряд Лорана:
111)-Cot,12-20) +..
тогда limfz-c.GR или 127=17-207412), 417010#
2970
из 2 классификации him#7) 7.-устранимая,те.
2920
разложим в 10: 712) =Ёс„(2-20)", CastHIM 4=-8 
р (9-4)и
примем р за окружность (1-rol-pe.ie
4h-1019120))
fifthoverride 1cal =,#floteialldest.lt" |
|
19-4-per 1" |
µ |
п.-имеемд-"можно →о,т.е. сто |
|
таким обраум мы доказали |
общее утв-ние: |
если А) ограничена в окрестности г.,то 7.-устранимая 
точка
А)= mF-Соан...
ЙА)-1--76=1 |
|
|
|
790 |
|
|
|
б) плох |
|
война/* |
|
] 2.-полюс для А) докажем, что |
|||
действ-но, через /классификацию: |
1970 |
Сто |
|
+ С met |
|
|
|
At)= "" (z-zamt.tt#+Ё. 417-70)", где |
|
||
(7570 |
|
на |
|
1)-ET.fm [cafe-107"), |
|
||
C.to 12)-azam, |
|||
И-1-m |
41470 |
|
|
|
|
||
him Н/ - # |
т-порядок полюса |
|
|
7970 |
|
|
|
из 2 классификации ей/Alex-+-
7920
разложим вряд Лорана:
7
А1)-8me 617-701" 17)-Ддт, то, 4170770
я |
# |
864-701" |
"1Mt При +... |
HZFIEz.sn |
11-10 |
3)существенно особая точка/терема Скотского-Вейн. Штрасса
• существенно особойточке: E» в окрестности#2.хотябы одна точка 2=21: числе BEC»/д-BICE
от противного: НЕ:O: в нек-ой окрестности 1.
1111)-В)> 42, тогда введём Жадт, MAKE
для неё чего не сущ-нособая личка-противоречие
#