Лекции Михайлов / ТФКП_10_Принципы_конформных_отображений_Л_10

ЛЮ (Фуше)

•]аналитические в области дфункцииАнней),

имеют в области g некоторое конечное кол-во нулей и полюсов, причём 4)не имеет нулей и полюсовна 0gг.

1112717161-на Г, тогда ф-ня Fat-1+412) имеет в д столько нулей, сколько нулей уф-ни +12)

докажем для случая, когда плюсов по принципу аргумента:

NCAA)= NAZ)+412))=½ War(Ang11+4(a))), MAN =½HartogHaller

NICA-NAIN)=#Carthy(714+414) Hartog12))=

=four 4+44 =¼ var11+4711=0

НА р

] W-1-141,

NFC»-NIAN " не пройдёт

|

О1

Пример док-во основной теоремы высшей алгебры

↓

• всякий многочлен степени п: Рита„2"+an.int.-+ана. имеет на плоскости ¢ровно и корней с учётом ихкратности

П-1

]P„(2) -114+412), где 112)-Anz"; 412)-KLIOark

рассмотрим некоторую какугодноблююрадиуса"область

при больших 121-2 11 = an 2"

19141 an.int..+ааа? 9114 31

число нулей р„(а) = число нулей ап"-п Эноль 7=0 кратности"я

Принципы конформного отображениявзаимно-однозначное отображение, имеющее свойства

сохранения углов и постоянства растяжения,назы-

ти g фия с ненулевом'производной осуществляет кон­ формные отображение области дна область еёзначений

ф-ня 712)-однолистная вG,если для любыхдвух

ных точек 71,22£G AL,)#An)

обратное, по отношению к прошлому)

• если отображение конформное 12)-аналитическая

НА½) 70 (действительно, т.к. отображение конформно, то

оно взаимно-однозначно по апр-нию, т.к.отображение

конформно, то имеет местосохранение уновипостомство растяжений,что возможно толькодля аналити­

ческих д-им: Into

римеры конформных отображений

Т

1) И-921 в (а#0),т.к. не'#0, 2 wz

обратное: 2-дне-ва-линейная, 1+0, не = → не

геом-кий смысл такого преобразования: -поворот в-0: W-az-lqeiargalzyeiaugz-laly.ie:language)

преобразований, например:

отобразить единичный крутТЕРна круг

радиуса Я с переходом центра круг в ю. очевидно, что это можно сделать с помощью целом.

Шнейной ф-м: w-w. + 212-107, 205W.

W-W.-Я (2-207,

IN-Wo 1=112-201≤ R.1=2 /W-W.IE#

при линейном отображении, при ан имеется одна неподвижная точка: 2. → и

т. Е., если W-анв, то 11-92,1,

4,11-а) = в 2,-÷

улувеличивается,при возведе­ нии в квадрат, вдвараза

получившиеся два листа, вк-ыкотображается вся М-стьг образуютповерхность Римана обратнойф-m

основные принципы и теорема Римана 1) принцип взаимно-однозначного отображения

• 3117)-однозначная и непрерывная в дф-и, имеющая однолистность в д ф-ня111 осуществляет конфор­

мное отображение однозначность и однолистность обеспечивают первую

часть определения конформного отображения

аналитичность фкаана выше докажем,чтоA4470 LEG:

ззвнутренняя 2.9: 74207=0, тогда Balto), вк-ой, кроме

70, нулей производной(иначебы 1=0 вВака, где Вака- -произвольная из теоремы единственности-противоречие одна-

начности)

также,т.к.На-аналитическая, то +разложите Тейлора

62=20: f(2)= 71107+(2-10) "412)1---, где 417.770, К72

рассмотрим Ваня, в к-ой при17rad" ф-на-70th. '-аналитическая и непрерывна на границе/2-4=8"

идостигает на ней своего минимального значения

Junk-гакжат»

возьмём 8-mind:b")и некоторое 2¢:/4cm, РАССМОТРИМ Ф-ИН All-Area-17-214»-2 140

на границе Balto) 112-75 жар-7.7412)-4

т т. Руше 711-1170) ИМЕЕТ СТОЛЬКО нулей, сколькоу 17-70)" (1), у к-ой к нулей, поэтому Ад-Кого

имеет ккорней 1)принимает кратности

однои тожезн-ние

вк тачках-противоречие

1

1)+0