КР по КГ
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»
КАФЕДРА №44 Институт вычислительных систем и программирования
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ |
|
|
Старший преподаватель |
|
Булгаков Д.А. |
должность, уч. степень, звание |
подпись, дата |
инициалы, фамилия |
Контрольная работа
Аффинные преобразования и проекции
Номер студенческого билета: 2020/3477
СТУДЕНТ ГР. № |
Z0411 |
|
Карелина М.В. |
|
номер группы |
подпись, дата |
инициалы, фамилия |
Санкт-Петербург
2022
Вариант №10
1. Аффинные преобразования на плоскости (10 баллов)
Изобразить восьмиугольник в форме буквы «Т», задать матрицу его
координат и при помощи матричных операторов выполнить:
растяжение(равномерное); отражение относительно вертикали и поворот против часовой стрелки на 450 относительно начала системы координат.
Решение
Рисунок 1. Исходный восьмиугольник.
Моя матрица V
А |
1 |
1 |
1 |
B |
2 |
1 |
1 |
C |
2 |
3 |
1 |
D |
3 |
3 |
1 |
E |
3 |
4 |
1 |
F |
0 |
4 |
1 |
G |
0 |
3 |
1 |
H |
1 |
3 |
1 |
1.1 Равномерное растяжение восьмиугольника.
Матричная форма операции растяжения:
a |
0 |
0 |
S = |0 |
β |
0| |
0 |
0 |
1 |
VS = V * S, где V – матрица исходных координат пятиугольника, S – матрица масштабирования, α, β - значения растяжения.
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
10 |
10 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
20 |
10 |
1 |
|
|
|2 |
3 |
1| |
|
|
|20 |
30 |
1| |
||||
VS = | |
3 |
3 |
1 |
10 |
0 |
0 |
30 |
30 |
1 |
| |
|
3 |
4 |
|*| 0 10 0|= | |
30 |
40 |
1 |
||||||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
||||||
|0 |
4 |
1| |
0 |
40 |
1| |
||||||
|
|
| |
|||||||||
|
0 |
3 |
1 |
|
|
|
0 |
30 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
10 |
30 |
1 |
|
|
Рисунок 2. Равномерное растяжение восьмиугольника.
1.2 Отражение относительно вертикали 1.2.1. Отражение относительно оси Х.
Vm = V *Mx
где V – матрица исходных координат восьмиугольника,
1
2
|2
Vm = |33
|0 0
1
Mx – матрица отражения относительно X.
1 |
1 |
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
−1 |
1 |
|
3 |
1| |
|
|
|2 |
−3 |
1| |
||
3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3 |
−3 |
1 |
| |
|
|
|*|0 −1 |
0|= | |
|
|
|||
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
−4 |
1 |
|
4 |
1 |
| |
|
|
0 |
−4 |
1 |
| |
|
|
|
|
| |
|
|
||
3 |
1 |
|
|
|
0 |
−3 |
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
1 |
−3 |
1 |
|
Рисунок 3. Отражение относительно оси Х
1.2.2. Отражение относительно оси Y.
Vm = V *My
где V – матрица исходных координат,
My – матрица отражения относительно Y.
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
−1 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
−2 |
1 |
1 |
|
|
|2 |
3 |
1| |
|
|
|−2 |
3 |
1| |
||||
Vm = | |
3 |
3 |
1 |
−1 |
0 |
0 |
−3 |
3 |
1 |
| |
|
3 |
4 |
|*| 0 1 |
0|= | |
−3 |
4 |
1 |
|||||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
||||||
|0 |
4 |
1| |
0 |
4 |
1| |
||||||
|
|
| |
|||||||||
|
0 |
3 |
1 |
|
|
|
0 |
3 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
−1 |
3 |
1 |
|
|
Рисунок 4. Отражение относительно оси Y
1.3 Поворот против часовой стрелки на 45о относительно начала системы координат.
Матричная форма операции поворота против часовой стрелки:
|
|
0 |
R = |− |
|
0| |
0 |
0 |
1 |
VR = V * R,
где V – матрица исходных координат,
R – матрица поворота.
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1.4 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.7 |
2.1 |
1 |
|2 |
|
1| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|−0.7 |
|
1| |
3 |
|
√2 |
|
√2 |
0 |
3.5 |
||||||||
VR = |3 |
3 |
1|*| |
|
2 |
|
|
2 |
|
|= | 0 |
4.2 |
1| |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
− |
√2 |
√2 |
0 |
|||||||||||
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
−0.7 |
4.9 |
1 |
|||||
2 |
2 |
|
||||||||||||
|0 |
4 |
1| |
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|−2.8 |
2.8 |
1| |
|||
0 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2.1 |
2.1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1.4 |
2.8 |
1 |
Рисунок 5. Поворот против часовой стрелки на 45о относительно начала системы координат.
2. Построение ортографических проекций (5 баллов)
С помощью 3DsMax четырехугольную пирамиду и записать матрицу её координат. Построить ортографическую проекцию на плоскость параллельную
XoZ (смещение по Y=3). Применить матрицу проецирования.
Решение
Рисунок 6. Четырехугольная пирамида в 3DsMax.
Рисунок 7. Смещение вдоль оси Y
Матрица координат вершин четырехугольной пирамиды в относительных единицах 3Ds Max:
Vertex |
x |
y |
z |
Однор |
|
коорд |
|||||
|
|||||
v1 |
-45 |
-46 |
0 |
1 |
|
v2 |
-45 |
46 |
0 |
1 |
|
v3 |
45 |
46 |
0 |
1 |
|
v4 |
45 |
-46 |
0 |
1 |
|
v5 |
0 |
0 |
60 |
1 |
Поскольку шаг координатной сетки в 3Ds Max равен (Grid =10,0), то координаты каждой из вершин пирамиды уменьшены на порядок:
|
Vertex |
x |
y |
z |
Однор |
|
коорд |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
-4.5 |
-4.6 |
0 |
1 |
V = |
v2 |
-4.5 |
4.6 |
0 |
1 |
|
v3 |
4.5 |
4.6 |
0 |
1 |
|
v4 |
4.5 |
-4.6 |
0 |
1 |
|
v5 |
0 |
0 |
6 |
1 |
Смещение Картинной (проекционной) плоскости вдоль оси Y на величину μ=3. Матрица проецирования PYμ.
PYμ - Картинная плоскость смещена относительно координатной плоскости XZ на величину μ.
Умножаем матрицу координат четырехугольной пирамиды на матрицу
проецирования вдоль оси Y. Получаем итоговые координаты проекции на XZ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vp = V * Pyμ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4.5 |
-4.6 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
||||
Vp = |
|
-4.5 |
4.6 |
|
0 |
|
1 |
* |
0 |
0 |
0 |
0 |
= |
||||
|
4.5 |
4.6 |
|
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4.5 |
-4.6 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
3 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-4.5 |
|
3 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-4.5 |
|
3 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
4.5 |
|
3 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4.5 |
|
3 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
3 |
|
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
