Mat_TVMS

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

КАФЕДРА №2

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

Доктор ф-м наук, профессор				В.Г.Фарафонов
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу:

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛА

СТУДЕНТ ГР. №	Z0411							М. В. Карелина
	номер группы			подпись, дата				инициалы, фамилия
Студенческий билет №	2020/3477

Санкт-Петербург 2022

Вариант №7

Задание 1.

Бросают игральную кость. Путь событие А – это выпадение четного числа, а событие В – выпадение числа большего 4. Что представляют собой события A , B, Какие элементы пространства элементарных исходов данного опыта им благоприятствуют?

Решение:

Событие - противоположно событию А, выпадение нечетного числа, элементарные исходы – 1, 3, 5.

Событие – противоположно событию В, вероятное выпадение чисел 1, 2, 3.

A∪B - выпадет то число, которое имеет хотя бы одно условие либо А либо В, выпадут все числа, кроме 2 и 4.

A∩B - выпадет число, которое имеет оба условия, то есть четное число больше четырёх, это 6.

A\B – происходит только событие А, выпадают только четные числа, элементарные исходы 2, 4, 6.

B\A – происходит только событие В, выпадают только числа больше 4, элементарные исходы 5 и 6.

Элементарные исходы – выпадение определенного количества очков на игральной кости: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Всего 6 элементарных исходов – полное пространство.

Задание 2.

Бросают две игральные кости. Найти вероятность события A, когда сумма выпавших очков равна 7, и события B, когда произведение выпавших очков равно 4.

Решение:

Для решения данной задачи будем использовать формулу:

где:	p – вероятность события; m – число элементарных событий, благоприятствующих конкретному событию; n – общее число всевозможных исходов.

Для нахождения n необходимо определить количество всех возможных комбинаций, которые могут выпасть на игральных костях. На каждой из игральных костей по шесть вариантов значений.

Следовательно, .

Для нахождения m рассмотрим необходимые сочетания чисел для каждого из событий.

Событие А.

Сумма выпавших очков равная 7 возможна в случае следующих комбинаций игральных костей: (1 6), (2 5), (3 4), (6 1), (5 2), (4 3).

Отсюда следует, что .

Событие В.

Произведение выпавших очков равное 4 возможно в случае следующих комбинаций игральных костей: (1×4), (2×2), (4×1).

Отсюда следует, что .

Воспользуемся формулой для определения вероятности для каждого из событий.

Вероятность события А: .

Вероятность события B: .

Ответ: .

Задание 3.

Случайным образом выбирают 3 шара из 10, среди которых 3 белых и 7 черных. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется два белых шара.

Решение:

Общее число шаров ;

Белых шаров ;

Черных шаров ;

Вынули шаров;

Событие А вынуто белых шаров;

Событие В вынуто чёрных шаров.

Для определения вероятности того, что среди трех вынутых шаров будут два белых будем определять по формуле:

Для начала определим число всех элементарных событий, которое равно числу сочетаний из N элементов по числу вынутых шаров n.

Далее определим число элементарных событий , благоприятствующих событию A, которое равно числу сочетаний из К элементов по числу вынутых шаров k:

Аналогично определим число элементарных событий , благоприятствующих событию B:

Воспользуемся формулой для определения вероятности:

Ответ: .

Задание 4.

Два независимых события A и B наступают с вероятностями 0,6 и 0,8 соответственно. Найти вероятность того, что наступит: а) хотя бы одно событие; б) ровно одно событие.

Решение:

Вероятность наступления события А или В (хотя бы одного из них) определяется по формуле:

где тогда

Вероятность наступления только одного из событий будет равна:

Ответ:

Задание 5.

В группе 20 студентов: 2 отличника, 4 хорошиста, 10 троечников и 4 двоечника. Отличники учат 100% экзаменационных билетов, хорошисты – только 80%, троечники – 60% и двоечники – только 40%. Найти вероятность того, что взятый наугад студент этой группы сдаст экзамен. Если некий студент данной группы сдал экзамен, то какова вероятность того, что он являлся одним из десяти троечников?

Решение:

Введём полную группу несовместных гипотез:

Н₁ – случайный студент отличник;

Н₂ – случайный студент хорошист;

Н₃ – случайный студент троечник;

Н₄ – случайный студент двоечник.

Определим вероятности этих несовместных гипотез:

Определим условные вероятности события A (взятый наугад студент группы сдает экзамен):

По формуле полной вероятности вычисляем вероятность события A:

Далее, воспользовавшись формулой Байеса, определим вероятность того, что сдавший экзамен студент будет являться двоечником:

Ответ: 0,64 и 0,125.

Задание 6.

Известна вероятность события A: p(A) = 0,7. Дискретная случайная величина ξ – число появлений события A в трех опытах. Требуется построить ряд распределения этой случайной величины, найти ее математическое ожидание M[ξ], дисперсию D[ξ], среднее квадратическое отклонение σ и вероятность попадания в интервал p(|ξ – M[ξ]| < σ).

Решение:

Для построения ряда распределения случайной величины ξ необходимо найти все возможные значения ξ и соответствующие вероятности. Для этого воспользуемся формулой Бернулли:

где:	– вероятность события А в одном опыте;
	– число опытов;
	;
	– число сочетаний;
	– вероятность не наступления события А.

Подставим значения в формулу:

Построим ряд распределения случайной величины:

	0	1	2	3
	0,027	0,189	0,441	0,343

Математическое ожидание случайной величины определяется по формуле:

Дисперсию случайной величины определим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется как корень квадратный из дисперсии:

.

Определим вероятность попадания в интервал :

.

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(- ) = -Ф( ), получим:

Ответ: ; ; .

Задание 7.

Решение:

Найдем значение С из условия нормировки:

Следовательно:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Ответ: .

Задание 8.

Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a=15 и дисперсией σ 2 =400. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна p=0,9606.

Решение:

Если интервал является симметричным относительно математического ожидания, то формула имеет вид:

В данном случае:

Отсюда:

По таблице значений функции Лапласа .

Теперь построим интервал:

Окончательно получим:

Ответ: интервал

Задание 9.

Дан ряд распределения двумерной случайной величины (ξ, η):

Найти значение p31, частные распределения случайных величин ξ и η, их математическое ожидание и дисперсию (т.е. M[ξ], D[ξ], M[η], D[η]), а также корреляционный момент Kξ,η и коэффициент корреляции rξ,η.

Решение:

Найдем значение используя условие нормировки:

Следовательно, заданная таблица примет вид:

ξ η	0	1	2
-1	1/8	0	1/8
0	1/8	1/8	0
1	3/8	1/8	0

Для нахождения частного распределения случайной величины ξ воспользуемся формулой:

Аналогично найдем остальные значения и получим следующие частные распределения:

Ξ	0	1	2
	1/4	1/4	1/2

Далее найдем частные распределения случайной величин η по формуле:

Получим следующие частные распределения:

η	-1	0	1
	5/8	1/4	1/8

Зная частные распределения лучайных величин, найдем математическое ожидание случайной величины ξ по формуле:

Аналогично найдем математическое ожидание случайной величины η:

Найдем дисперсию случайной величины ξ используя полученное математическое ожидание:

Найдем дисперсию случайной величины η:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины :

Корреляционный момент находится по формуле:

Для начала найдем математическое ожидание появления обоих событий:

= -3,875

Теперь можно найти корреляционный момент:

Зная корреляционный момент, найдем коэффициент корреляции :

Ответ: ; ; ; ; .