КР1. Метод Фурье для уравнения колебаний струны / Демо версия

Кр : метод Фурье для уравнения колебаний струны. Demo

Решить начально-краевую задачу методом Фурье.

Решение. Вариант 21.

I). Соответствующая волновому уравнению "пространственная" зада- ча Штурма Лиувилля имеет вид:

'00 + ' = '; '(0) = '( ) = 0;

где ' не равная 0 функция только от x. Положим = 1 + k2, òàê

что последнее обыкновенное дифф. уравнение примет традиционный вид'00 = k2 '. Следуя известной методике (ср. Пример 2.1 из пособия по

задачам МФ), получим решение задачи Штурма Лиувилля (с.ч. и с.ф.):

k = 1 + k2; k 2 N; 'k(x) = sin k x:

Поскольку f'kg система с.ф. оператора Штурма Лиувилля, то это ортогональная система в L2(0; ), что можно легко проверить путем непо-

средственного интегрирования.

II). Решение исходной задачи будем искать в виде ряда

X

u = ck(t)'k(x);

k 1

что для начала уже обеспечивает выполнение (однородных) краевых усло-

вий. Подстановка в дифф. уравнение в частных производных и начальные условия с учетом '00k + 'k = (1 + k2)'k è sin 2 x = '2(x) приводит к

равенствам:

В силу ортогональности системы f'kg отсюда следует, что c2 решение задачи Коши,

c002 + 10 c2 = 2 t; c2(0) = 2; c02(0) = 1;

1

в то время как остальные ck = 0. Решением последней задачи является

2