ЛАБ 7 ВАР 21

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций

Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

(МТУСИ)

Факультет "Радио и телевидение"

Кафедра "Радиотехнические системы"

Лабораторная работа №7

По дисциплине "Цифровая обработка сигнала":

"ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ КУЛИ-ТЮКИ"

Выполнил:

Студенты группы

Проверила:

Старший преподаватель

1. Цель работы:

Изучение дискретного преобразования Фурье и алгоритмов быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени и по частоте.

2. Домашний расчет:

Номер бригады 21.

Последовательность x(n) = [00110111].

Таблица 1 – Исходные данные

Переменная	Назначение	Формула	Значение
Nбр	Номер бригады	Nбр	21
N	Период (длина последовательности)	Т=1024
fД	Частота дискретизации	2000 (Nбр mod5+1)	4000
T	Период дискретизации	1/ fД	0,25 мс
A1	Амплитуды дискретных гармоник	A1=1+0,01 Nбр	1,21
A2		A2= 2A1	2,42
f1	Частота дискретной гармоники	f1= fд/8	500
f2	Частота дискретной гармоники	f2= fд/16	250

Прямое дискретное преобразование Фурье последовательности x(n) длины N записывается в форме:

Или, для данной последовательности:

Проводим сокращения и, учитывая, что x(0) = x(1) = x(4) = 0, получим следующее выражение:

Далее, учитывая, что k изменяется в интервале от 0 до N-1=7 рассчитаем коэффициенты ДПФ, применяя разложение экспоненты (поворачивающего множителя) по формуле Эйлера:

Для k=0

Так как значения x(3) = x(2) = x(6) = x(7) = x(5) = 1, то при вычислении последующих коэффициентов ДПФ их запись можно опустить. По формуле Эйлера раскладываем экспоненту в .

Для

Для

Для

Для

Для

Для

Для

Теперь расчёт коэффициентов ДПФ с помощью быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени.

Найдем коэффициенты ДПФ, воспользовавшись этим алгоритмом.

Рисунок 1 – алгоритм БПФ «бабочка» с прореживанием по времени.

Найдем коэффициенты ДПФ при учете, что промежуточных двухточечных последовательностей учитывая, что Поворачивающий множитель равен единице.

Теперь, вычислим коэффициенты ДПФ последовательностей :

Последний шаг – нахождение коэффициентов ДПФ исходной последовательности x(n):

Значения коэффициентов ДПФ, посчитанные по общей формуле и по алгоритму БПФ совпадают.

На этом расчет дискретного преобразования Фурье по алгоритму быстрого преобразования Фурье окончен.

Расчёт коэффициентов ДПФ промежуточных последовательностей x₁₀(n) и x₂₀(n) по общей формуле.

Рассчитаем по общей формуле коэффициенты ДПФ промежуточной

последовательности x₁₀(n), где x₁₀(n) - результат разбиения исходной временной последовательности x(n), включающий в себя только четные коэффициенты x(n) (нулевой, второй, четвертый и шестой): x₁₀(n) = 0101.

Длина последовательности x₁₀(n) N = 4.

Для k=0

Для k=1

Для k=2

Для k=3

Последовательность имеет вид, который совпадает с результатами промежуточных вычислений БПФ.

Рассчитаем аналогичным образом коэффициенты ДПФ последовательности , включающей в себя каждый второй член последовательности , начиная . Длина последовательности .

3. Лабораторное задание.

Собрать схему, реализующую расчет коэффициентов ДПФ гармонических колебаний для двух случаев: одного косинусоидального колебания и для суммы двух гармонических колебаний.

Рисунок 2 – Схема расчета коэффициентов ДПФ гармонических колебаний

Определение максимального уровня модуля коэффициентов ДПФ одного гармонического колебания.

Рисунок 3 – Осциллограмма одного гармонического колебания

Номер отсчета 128, максимальный уровень модуля коэф. ДПФ 515 мВ.

Номер отсчета 896, максимальный уровень модуля коэф. ДПФ 515 мВ.

Определение максимального уровня модуля коэффициентов ДПФ суммы двух гармонических колебаний.

Рисунок 4 – Осциллограмма сумма двух гармонических колебаний

Номер отсчета 64, максимальный уровень модуля коэф. ДПФ 4,1 В.

Номер отсчета 128, максимальный уровень модуля коэф. ДПФ 512,5 мВ.

Номер отсчета 896, максимальный уровень модуля коэф. ДПФ 4,1 В.

Номер отсчета 960, максимальный уровень модуля коэф. ДПФ 512,5 мВ.

Собрать схему, реализующую расчет коэффициентов ДПФ последовательности прямоугольных импульсов.

Рисунок 5 – Схема расчета коэффициентов ДПФ последовательности прямоугольных импульсов

Рисунок 6 – Осциллограмма модуля коэффициента ДПФ

Рисунок 7 – Спектрограмма входной последовательности прямоугольных импульсов

Вывод: изучено дискретное преобразование Фурье и алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени и по частоте.

Москва 2024